Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣2x2+bx+c過A（2，0）、C（0，4）兩點．

（1）分別求該拋物線和直線AC的解析式；

（2）橫坐標為m的點P是直線AC上方的拋物線上一動點，△APC的面積為S．

①求S與m的函數(shù)關系式；

②S是否有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，請說明理由．

（3）點M是直線AC上一動點，ME垂直x軸于E，在y軸（原點除外）上是否存在點F，使△MEF為等腰直角三角形？若存在，直接寫出對應的點F，M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+4；y＝﹣2x2+2x+4；（2）①S△APC＝﹣2m2+4m，②m＝1時，△APC的面積為S有最大值，最大值為2；（3）存在．點F坐標為（0，）時，點M的坐標為（，），點F坐標為（0，﹣4）時，點M的坐標為（4，﹣4）；點F坐標為（0，1），點M的坐標為（1，2）. 理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

（2）①過點P作PH∥y軸交AC于點H，則S△APC＝S△PHC+S△PHA，用m的代數(shù)式表示出PH的長，而OA=2，整理即得結果；②求由①得到的函數(shù)關系式的最大值即可；

（3）根據(jù)點M在直線y=－2x+4上，可設點M的坐標為（a，﹣2a+4），然后分∠EMF＝90°和∠MFE＝90°兩種情況，分別根據(jù)點M到坐標軸的距離相等和等腰直角三角形的性質列式求解即可.

解：（1）設直線AC的解析式為y＝kx+b，

∵A（2，0）、C（0，4），

∴，解得：，

∴直線AC的解析式為y＝﹣2x+4；

又∵拋物線y＝﹣2x2+bx+c過A（2，0）、C（0，4）兩點，

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+2x+4；

（2）①設P的坐標為（m，﹣2m2+2m+4），

如圖1，過點P作PH∥y軸交AC于點H，則H（m，﹣2m+4），

∴PH＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m，

∵S△APC＝S△PHC+S△PHA，

∴＝﹣2m2+4m．

②∵0＜m＜2，S＝﹣2m2+4m＝﹣2（m﹣1）2+2，

∴m＝1時，△APC的面積為S有最大值，最大值為2．

（3）存在．

理由如下：如圖2，∵點M在直線y＝﹣2x+4上，

∴設點M的坐標為（a，﹣2a+4），

①∠EMF＝90°時，∵△MEF是等腰直角三角形，

∴|a|＝|﹣2a+4|，

即a＝﹣2a+4或a＝﹣（﹣2a+4），

解得a＝或a＝4，

∴點F坐標為（0，）時，點M的坐標為（，），

點F坐標為（0，﹣4）時，點M的坐標為（4，﹣4）；

②∠MFE＝90°時，∵△MEF是等腰直角三角形，

∴|a|＝|﹣2a+4|，

即a＝﹣（﹣2a+4）或a＝

當a＝﹣（﹣2a+4）時，解得a＝1，﹣2a+4＝2×1＝2，

此時，點F坐標為（0，1），點M的坐標為（1，2），

當a＝ 時，方程無解，

綜上所述，點F坐標為（0，）時，點M的坐標為（，），

點F坐標為（0，﹣4）時，點M的坐標為（4，﹣4）；

點F坐標為（0，1），點M的坐標為（1，2）.