Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（4，1）的拋物線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于A，C兩點(diǎn)之間．問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAC的面積最大？求出△PAC的最大面積；
（3）連接AB，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，以點(diǎn)C為圓心的圓與拋物線的對(duì)稱軸l相切，先補(bǔ)全圖形，再判斷直線BD與⊙C的位置關(guān)系并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由拋物線頂點(diǎn)為（4，1），可設(shè)出其頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-4）²+1，將C點(diǎn)（6，0）代入其中即可求得a的值；
（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)（m，-$\frac{1}{4}$m²+2m-3），用含m的多項(xiàng)式來(lái)表示出△PAC面積，根據(jù)解極值問(wèn)題即可得出△PAC的面積取最大值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)，以及最大面積值；
（3）如圖做好輔助線，借助于相似三角形的比例關(guān)系求出C到直線BD的距離，再與⊙C半徑進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)為（4，1），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-4）²+1．
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（6，0），
∴0=a（6-4）²+1，解得a=-$\frac{1}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$（x-4）²+1=-$\frac{1}{4}$x²+2x-3．
所以拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+2x-3．
（2）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線交AC于點(diǎn)Q，

∵A（0，-3），C（6，0），
∴直線AC解析式為y=$\frac{1}{2}$x-3．
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{4}$m²+2m-3），
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$m-3），
∴PQ=-$\frac{1}{4}$m²+2m-3-（$\frac{1}{2}$m-3）=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m，
∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m）×6=-$\frac{3}{4}$（m-3）²+$\frac{27}{4}$，
∴當(dāng)m=3時(shí)，△PAC的面積最大為$\frac{27}{4}$．
∵當(dāng)m=3時(shí)，-$\frac{1}{4}$m²+2m-3=$\frac{3}{4}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，$\frac{3}{4}$）．
綜上：P點(diǎn)的位置是（3，$\frac{3}{4}$），△PAC的最大面積是$\frac{27}{4}$．
（3）判斷直線BD與⊙C相離．
證明：令-$\frac{1}{4}$（x-4）²+1=0，解得x₁=2，x₂=6，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)（2，0）．
又∵拋物線交y軸于點(diǎn)A，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
設(shè)⊙C與對(duì)稱軸l相切于點(diǎn)F，則⊙C的半徑CF=2，
作CE⊥BD于點(diǎn)E，如圖2，則∠BEC=∠AOB=90°．

∵∠ABD=90°，
∴∠CBE=90°-∠ABO．
又∵∠BAO=90°-∠ABO，
∴∠BAO=∠CBE．
∴△AOB∽△BEC，
∴$\frac{CE}{OB}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{CE}{2}$=$\frac{4}{\sqrt{13}}$，
∴CE=$\frac{8}{\sqrt{13}}$＞2．
∴直線BD與⊙C相離．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用、相似三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵：（1）利用頂點(diǎn)設(shè)出頂點(diǎn)式，再由點(diǎn)在拋物線上即可求出拋物線的解析式；（2）利用配方法解決極值問(wèn)題；（3）利用相似三角形的性質(zhì)，找到邊與邊的關(guān)系，求出CE后再與半徑進(jìn)行比較．