Question

1．在△ABC中，∠B=2∠C，AC=4$\sqrt{5}$，AB=5，求BC的長．

Answer 1

分析 作∠ABC的角平分線BD交AC于點D，易證△CDB是等腰三角形和△ADB∽△ABC，由相似三角形的性質可求出AD的長，進而可求BD的長，再由對應邊的比值相等即可求出BD的長．

解答 解：作∠ABC的角平分線BD交AC于點D，
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠B=2∠C，
∴∠C=∠DBC，
∴BD=CD，
∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{BC}$，
設AD=x，
∴$\frac{x}{5}=\frac{5}{4\sqrt{5}}$，
∴AD=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
∴則CD=BD=4$\sqrt{5}$-$\frac{5\sqrt{5}}{4}$=$\frac{11\sqrt{5}}{4}$，
∵$\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{BC}$，
∴$\frac{5}{4\sqrt{5}}=\frac{\frac{11}{4}\sqrt{5}}{BD}$，
∴BD=11．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質以及等腰三角形的判定和性質，題目的設計很新穎，是非常不錯的一道中考題，解題的關鍵是證明出CD=DB．