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【題目】問題提出

1)如圖,的中線,則__________;(填“”“”或“”)

問題探究

2)如圖,在矩形中,,點的中點,點上任意一點,當的周長最小時,求的長;

問題解決

3)如圖,在矩形中,,點為對角線的中點,點上任意一點,點上任意一點,連接,是否存在這樣的點,使折線的長度最。咳舸嬖,請確定點的位置,并求出折線的最小長度;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)>;(2);(3)當點的中點重合時,折線的長度最小,最小長度為4

【解析】

1)如圖(見解析),先根據三角形全等的判定定理與性質得出,再根據三角形的三邊關系定理即可得;

2)如圖(見解析),先根據矩形的性質得出,從而可得AE的長,再根據三角形的周長公式、兩點之間線段最短得出的周長最小時,點F的位置,然后利用相似三角形的判定與性質即可得;

3)如圖(見解析),先根據軸對稱性質、兩點之間線段最短得出折線的長度最小時,四點共線,再利用直角三角形的性質、矩形的性質得出,,然后利用軸對稱的性質、角的和差可得,,由此利用勾股定理可求出的長,即折線的最小長度;設于點,根據等邊三角形的判定與性質可得,從而可得,由此即可得折線的長度最小時,點Q的位置.

1)如圖,延長AD,使得,連接CE

的中線

中,

中,由三角形的三邊關系定理得:,即

故答案為:;

2)如圖,作點關于的對稱點,連接FG,則

四邊形ABCD是矩形,

垂直平分

EBC的中點

,,

的周長為

要使的周長最小,只需

由兩點之間線段最短可知,當點共線時,取得最小值

,即

解得

3)如圖,作點關于的對稱點,作點關于的對稱點,連接,則

∴折線的長度為

由兩點之間線段最短可知,,當且僅當點四點共線時,折線取得最小長度為

∵在矩形中,

,

∵點的中點

∵點與點關于對稱,點與點關于對稱

,

于點

中,

,即

又∵

是等邊三角形

∴點的中點重合

綜上,當點的中點重合時,折線的長度最小,最小長度為4

練習冊系列答案
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A. B.

C. D.

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(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;

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A.B.C.D.

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