Question

18．如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，E是AB上一點(diǎn)，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值是10．

Answer 1

分析 首先作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD，ED，則ED交于AC于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PE最小，然后由在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，可得∠BAD=90°，又由BE=2，AE=3BE，可求得AE與AD的長(zhǎng)，繼而求得PE+PB=DE的長(zhǎng)．

解答 解：作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD，ED，則ED交于AC于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PE最小，
則PB=PD，∠BAC=∠DAC，AD=AB，
∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∴∠BAD=90°，
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AB=AE+BE=8，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=10，
∴PB+PE=PD+PE=DE=10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了最短路徑問(wèn)題以及等腰直角三角形性質(zhì)．注意找到點(diǎn)P的位置是解此題的關(guān)鍵．