Question

6．如圖，直線y=2x+2交y軸于A點(diǎn)，交x軸于C點(diǎn)，以O(shè)，A，C為頂點(diǎn)作矩形OABC，將矩形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形ODEF，直線AC交直線DF于G點(diǎn)．
（1）求直線DF的解析式；
（2）求證：GO平分∠CGD；
（3）在角平分線GO上找一點(diǎn)M，使以點(diǎn)G、M、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，求出M點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線的解析式找出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，再由旋轉(zhuǎn)的特性找出點(diǎn)D、F的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)D、F的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線DF的解析式；
（2）過點(diǎn)O作OP⊥AC于點(diǎn)P，作OQ⊥DG于點(diǎn)Q，利用全等直角三角形的判定定理HL證出Rt△OAC≌Rt△ODF，結(jié)合面積法即可得出OP=OQ，從而證出GO平分∠CGD；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AC⊥DF，結(jié)合（2）的結(jié)論即可得出∠OGD=45°，聯(lián)立直線AC、DF的解析式成方程組，解方程組可得出點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可分兩種情況尋找點(diǎn)M的位置，再通過勾股定理解方程等即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線y=2x+2交y軸于A點(diǎn)，交x軸于C點(diǎn)，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2），C點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，0），
∵將矩形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形ODEF，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，1），D點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0），
設(shè)直線DF的解析式是y=kx+1，
∴2k+1=0，
解得k=-$\frac{1}{2}$，
∴直線DF的解析式是：y=-$\frac{1}{2}$x+1．
（2）過點(diǎn)O作OP⊥AC于點(diǎn)P，作OQ⊥DG于點(diǎn)Q，如圖1所示．
在Rt△OAC和Rt△ODF中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{AC=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△OAC≌Rt△ODF（HL），
又∵OP⊥AC，OQ⊥DG，
∴OP=OQ，
∴OG平分∠CGD．
（3）∵矩形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形ODEF，
∴對(duì)角線AC⊥DF，
∵GO平分∠CGD，
∴∠OGD=45°．
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
即點(diǎn)G（-$\frac{2}{5}$，$\frac{6}{5}$），
∴直線GO為y=-3x．
∵D（2，0），
∴GD=$\sqrt{[2-（-\frac{2}{5}）]^{2}+（0-\frac{6}{5}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，GO=$\sqrt{（-\frac{2}{5}-0）^{2}+（\frac{6}{5}-0）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
以點(diǎn)G、M、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形分兩種情況：
①過D作DM₁⊥GO于點(diǎn)M₁，則△GM₁D是以GD為斜邊的等腰直角三角形，過M₁作M₁H⊥OD于點(diǎn)H，如圖2所示．
∵GD=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴GM₁=DM₁=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．
∵GO=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∴OM₁=GM₁-GO=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
設(shè)點(diǎn)M₁（x，-3x），在Rt△OM₁H中有$O{H}^{2}+H{{M}_{1}}^{2}=O{{M}_{1}}^{2}$，
即x²+（-3x）²=$（\frac{\sqrt{10}}{5}）^{2}$，解得：x=$\frac{1}{5}$或x=-$\frac{1}{5}$（舍去）．
∴點(diǎn)M₁（$\frac{1}{5}$，-$\frac{3}{5}$）；
②過D作DM₂⊥GD交GO于M₂，則△GM₂D是以GD為直角邊的等腰直角三角形，過M₂作M₂I⊥OD于點(diǎn)I，如圖3所示．
∵GD=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴GM₂=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$×$\sqrt{2}$=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∵GO=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∴OM₂=GM₂-GO=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
設(shè)M₂（a，-3a），在Rt△OM₂I中有$O{I}^{2}+I{{M}_{2}}^{2}=O{{M}_{2}}^{2}$，
即a²+（-3a）²=$（\frac{4\sqrt{10}}{5}）^{2}$，解得：a=$\frac{4}{5}$或a=-$\frac{4}{5}$（舍去），
∴點(diǎn)M₂（$\frac{4}{5}$，-$\frac{12}{5}$）．
綜上可得：使以點(diǎn)G、M、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形的M點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{1}{5}$，-$\frac{3}{5}$）和（$\frac{4}{5}$，-$\frac{12}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）證出Rt△OPG≌Rt△OQG；（3）分情況討論點(diǎn)M的情況．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程稍顯繁瑣，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．