Question

【題目】已知，△ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形．動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．
（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），那么t為何值時(shí)，△PBC是直角三角形；

（2）若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)．連接PQ交AC于D．如果動(dòng)點(diǎn)P，Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)．
①如圖2，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），那么t為何值時(shí)，△DCQ是等腰三角形？
②如圖3，連接PC，請(qǐng)你猜想：在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，△PCD和△QCD的面積有什么關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)△PBC是直角三角形時(shí)，∠B=60°，

∠BPC=90°，所以BP=1.5cm，

所以t=

（2）

解：①∵∠DCQ=120°，

當(dāng)△DCQ是等腰三角形時(shí)，CD=CQ，

∴∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°，

∵∠A=60°，

∴AD=2AP，

∴2t+t=3，

解得t=1（s）；

②相等，如圖所示：

作PE垂直AD，QG垂直AD延長(zhǎng)線，則PE∥QG，

∴∠G=∠AEP，

在△EAP和△GCQ， ，

∴△EAP≌△GCQ（AAS），

∴PE=QG，

∴△PCD和△QCD同底等高，

所以面積相等

【解析】（1）當(dāng)△PBC是直角三角形時(shí)，∠B=60°，所以BP=1.5cm，即可算出t的值；（2）①因?yàn)椤螪CQ=120°，當(dāng)△DCQ是等腰三角形時(shí)，CD=CQ，然后可證明△APD是直角三角形，即可根據(jù)題意求出t的值；②面積相等．可通過同底等高的三角形的面積相等即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(zhì)(等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）)，還要掌握等邊三角形的性質(zhì)(等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．