16.如圖,正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,∠ACB的角平分線分別交AB、BD于M、N兩點(diǎn),若AM=4,則線段ON的長為2.

分析 作MH⊥AC于H,如圖,根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠MAH=45°,則△AMH為等腰直角三角形,再求出AH,MH,MB,CH/CO,然后證明△CON∽△CHM,再利用相似比可計(jì)算出ON.

解答 解:作MH⊥AC于H,如圖,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠MAH=45°,
∴△AMH為等腰直角三角形,
∴AH=MH=$\frac{\sqrt{2}}{2}AM=\frac{\sqrt{2}}{2}×4=2\sqrt{2}$,
∵CM平分∠ACB,
∴BM=MH=$2\sqrt{2}$,
∴AB=4+2$\sqrt{2}$,
∴AC=$\sqrt{2}$AB=4$\sqrt{2}$+4,
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$+2,CH=AC-AH=4$\sqrt{2}$+4-2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$+4,
∵BD⊥AC,
∴ON∥MH,
∴△CON∽△CHM,
∴$\frac{ON}{MH}=\frac{OC}{CH}$,即$\frac{ON}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+2}{2\sqrt{2}+4}$,
∴ON=2,
故答案為:2

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì):在判定兩個(gè)三角形相似時(shí),應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件,以充分發(fā)揮基本圖形的作用,尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形.也考查了角平分線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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