Question

如圖，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，…△P_nA_n﹣1A_n都是等腰直角三角形，斜邊OA₁、A₁A₂、A₂A₃，…A_n﹣1A_n都在x軸上
（1）求P₁的坐標；
（2）求y₁+y₂+y₃+…y₁₀的值．

Answer 1

（1）P₁（2，2） （2）

試題分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質，知P₁的橫、縱坐標相等，再結合雙曲線的解析式求得該點的坐標；
（2）主要是根據(jù)等腰直角三角形的性質和雙曲線的解析式首先求得各個點的橫坐標，再進一步求得其縱坐標，發(fā)現(xiàn)抵消的規(guī)律，從而求得代數(shù)式的值．
解：（1）由△P₁OA₁是等腰直角三角形，得y₁=x₁，則有x₁²=4，故x₁=±2（負舍），點P₁（2，2）．
（2）解：過P₁作P₁B⊥OA₁于B，過P₂作P₂C⊥A₁A₂于C，

∵△OP₁A₁、△A₁P₁A₂是等腰直角三角形，
∴OB=BP₁=BA₁=x₁=y₁
∴y₂=A₁C=OC﹣A₁B﹣OB=x₂﹣x₁﹣y₁，
同理可得：y₃=x₃﹣x₂﹣y₂，y₄=x₄﹣x₃﹣y₃，…，y₁₀=x₁₀﹣x₉﹣y₉，
又，則：．
∴，
∴，
同理，依次得，
，
，
，
…
，
x₁₀=2+2，y₁₀=2﹣2，
∴y₁+y₂+y₃+…+y₁₀==．
點評：此題主要是綜合運用了等腰直角三角形的性質以及結合函數(shù)的解析式求得點的坐標．解答本題時同學們要找出其中的規(guī)律．