Question

直線l的解析式y(tǒng)=

3

4

x+8，與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是x軸上一點，以P為圓心的圓與直線l相切于B點．
（1）求點P的坐標及⊙P的半徑R；
（2）若⊙P以每秒

10

3

個單位沿x軸向左運動，同時⊙P的半徑以每秒

3

2

個單位變小，設(shè)⊙P的運動時間是t秒，且⊙P始終與直線l有交點，試求t的取值范圍；
（3）在（2）中，設(shè)⊙P被直線l截得的弦長為a，問是否存在t的值，使a最大？若存在，求出t的值．

Answer 1

分析：（1）直線l的解析式y(tǒng)=

3

4

x+8，與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求出A（-

32

3

，0），B（0，8），由圓P與直線l相切的直線PB的解析式y(tǒng)=-

4

3

x+8，求得P點坐標（6，0），PB=10，
（2）由R≥點P到直線L的距離，則⊙P始終與直線l有交點，求得t的取值范圍．
（3）先假設(shè)存在這樣的t，然后由條件求出t值．

解答：解：（1）如圖，由于直線l：y=

3

4

x+8與x軸、y軸分別交于A、B兩點，所以A、B兩點的坐標可以求出，線段OA、OB的長度也可以求出，又OB⊥AP，AB切⊙P于B點，可以得到△ABO∽△BPO，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例就可以求出OP，BP，也就求出了題目的結(jié)論；
求得P點坐標（6，0），半徑PB=10．

（2）若⊙P以每秒

10

3

個單位沿x軸向左運動，同時⊙P的半徑以每秒

3

2

個單位變小，
設(shè)⊙P的運動時間為t秒，且⊙P始終與直線l有交點，試求t的取值范圍；
R≥點P到直線L的距離，則⊙P始終與直線l有交點．
P[（6-

10

3

t），0]，R=10-

3

2

t，L：3x-4y+32=0
點P到直線L的距離H=|10-2t|
10-

3

2

t≥|10-2t|
10-

3

2

t≥10-2t≥-（10-

3

2

t）
解得：0≤t≤

40

7

；

（3）在（2）中，設(shè)⊙P被直線l截得的弦長為a，問是否存在t的值，使a最大？若存在，求出t的值
一定存在t的值，使a最大
（

a

2

）²=R²-H²=（10-

3

2

t）²-（10-2t）²=（-

32

9

）•（t-

15

4

）²+50
則a²=-7t²+40t，
t=

40

14

=

20

7

時，a²_最大=

400

7

，a_最大=

20 7

7

．

點評：此題把一次函數(shù)與圓相結(jié)合，考查了同學(xué)們綜合運用所學(xué)知識的能力，是一道綜合性較好的題目．