Question

已知拋物線，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1），定直線l的方程為：y=-1；
（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：P到定直線l的距離PP′等于P到定點(diǎn)F的距離．
（2）若過定點(diǎn)F任作一條直線，與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，再以線段MN的長(zhǎng)為直徑作一個(gè)圓C，試判斷圓C與定直線l的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）在（2）的條件下，你能否在定直線l上找到一點(diǎn)Q，使得QF恰好平分∠MQN？若能，求出點(diǎn)坐標(biāo)；否則，說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵點(diǎn)P在拋物線y=x²上，
∴設(shè)點(diǎn)P（x，x²），
則PF===x²+1，
∵定直線l的方程為：y=-1，
∴點(diǎn)P到直線l的距離PP′=x²-（-1）=x²+1，
∴P到定直線l的距離PP′等于P到定點(diǎn)F的距離；

（2）解：圓C與定直線l的位置關(guān)系是相切．理由如下：
如圖，過M、N、C分別作直線l的垂線，垂足分別為E、G、H，
則CH是梯形MEGN的中位線，
∵M(jìn)E=MF，NG=NF，
∴CH=（ME+NG）=（MF+NF）=MN，
即圓心C到定直線l的距離等于⊙C的半徑，
∴圓C與定直線l的位置關(guān)系是相切；


（3）解：存在點(diǎn)Q（0，-1），使得QF恰好平分∠MQN．
理由如下：∵QF平分∠MQN，
∴=，
∵M(jìn)E=MF，NG=NF，
∴=，
∴Rt△MEQ∽R(shí)t△NGQ，
∴∠MQE=∠NQG，
又∵QF平分∠MQN，
∴∠MQF=∠NQF，
∵∠MQE+∠MQF+∠NQF+∠NQG=180°，
∴∠MQE+∠MQF=×180°=90°，
∴∠EQF=90°，
∴點(diǎn)Q在y軸上，
即點(diǎn)Q為定直線l：y=-1與y軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，-1）．
分析：（1）根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²），根據(jù)勾股定理表示求出PF，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離表示出點(diǎn)P到直線l的距離，即可得證；
（2）過M、N、C分別作直線l的垂線，垂足分別為E、G、H，可得CH是梯形MEGN的中位線，根據(jù)梯形的中位線定理可得CH=（ME+NG），再根據(jù)（1）的結(jié)論代入整理可得CH=MN，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可以判斷圓C與定直線l相切；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得=，再根據(jù)ME=MF，NG=NF，可以判斷Rt△MEQ和Rt△NGQ相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠MQE=∠NQG，又因?yàn)镼F平分∠MQN，推出∠EQF=90°，從而得到點(diǎn)Q在y軸上，即Q為定值線與y軸的交點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)，主要利用了拋物線上點(diǎn)的特征，梯形的中位線定理，直線與圓的位置關(guān)系以及直角三角形相似的判斷與相似三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，（3）中角平分線的性質(zhì)，三角形的角平分線分對(duì)邊所成的兩條線段的比等于三角形兩鄰邊的比同學(xué)們比較生疏，要特別注意．