【題目】如圖,將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ(0°≤θ≤360°),得到矩形AEFG.
(1)當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí),求證:AF∥BD;
(2)當(dāng)GC=GB時(shí),求θ;
(3)當(dāng)AB=10,BG=BC=13時(shí),求點(diǎn)G到直線CD的距離.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)60°或300°;(3)25或1
【解析】
(1)先運(yùn)用SAS判定△FEA≌△DAB,可得∠AFE=∠ADE=∠DEF,即可得出AF∥BD;
(2)當(dāng)GB=GC時(shí),點(diǎn)G在BC的垂直平分線上,分兩種情況討論,依據(jù)∠DAG=60°,即可得到旋轉(zhuǎn)角θ的度數(shù).
(3)當(dāng)BG=BC時(shí)存在兩種情況:畫(huà)圖根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.
(1)由旋轉(zhuǎn)可得,AE=AB,∠AEF=∠DAB=90°,EF=BC=AD,
∴∠AEB=∠ABE,△FEA≌△DAB(SAS),
∴∠AFE=∠ADB,
又∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF,
∴∠EDA=∠DEF,
∴∠DEF=∠AFE,
∴AF∥BD;
(2)如圖1,當(dāng)GB=GC時(shí),點(diǎn)G在BC的垂直平分線上,分兩種情況討論:
①當(dāng)點(diǎn)G在AD右側(cè)時(shí),取BC的中點(diǎn)H,連接GH交AD于M,連接DG,
∵GC=GB,
∴GH⊥BC,
∴四邊形ABHM是矩形,
∴AM=BH=AD=AG,
∴GM垂直平分AD,
∴GD=GA=DA,
∴△ADG是等邊三角形,
∴∠DAG=60°,
∴旋轉(zhuǎn)角θ=60°;
②當(dāng)點(diǎn)G在AD左側(cè)時(shí),如圖2,同理可得△ADG是等邊三角形,
∴∠DAG=60°,
∴旋轉(zhuǎn)角θ=360°﹣60°=300°.
綜上,θ的度數(shù)為60°或300°;
(3)有兩種情況:
①如圖3,當(dāng)BG=BC=13時(shí),過(guò)G作GH⊥CD于H,交AB于M,
∵AG=BC=BG,
∴AM=BM=5,
Rt△AMG中,由勾股定理得:MG===12,
∵AB∥CD,
∴MH=BC=13,
∴GH=13+12=25,即點(diǎn)G到直線CD的距離是25;
②如圖4,過(guò)G作MH⊥CD于H,交AB于M,
同理得GM=12,
∴GH=13﹣12=1,即點(diǎn)G到直線CD的距離是1;
綜上,即點(diǎn)G到直線CD的距離是25或1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(感知)如圖①,正方形中,點(diǎn)在邊上,平分.若我們分別延長(zhǎng)與,交于點(diǎn),則易證.(不需要證明)
(探究)如圖②,在矩形中,點(diǎn)在邊的中點(diǎn),點(diǎn)在邊上,平分.求證:.
(應(yīng)用)在(探究)的條件下,若,,直接寫(xiě)出的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】知,拋物線(a0)的頂點(diǎn)為A(s,t)(其中s0) .
(1)若拋物線經(jīng)過(guò)(2,2)和(-3,37)兩點(diǎn),且s=3.
①求拋物線的解析式;
②若n>3, 設(shè)點(diǎn)M(),N()在拋物線上,比較,的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若a=2,c=-2,直線與拋物線的交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為h,點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為h+3,求出b和h的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若點(diǎn)A在拋物線上,且2≤s<3時(shí),求a的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩人要某風(fēng)景區(qū)游玩,每天某一時(shí)段開(kāi)往該景區(qū)有三輛汽車(chē)(票價(jià)相同),但是他們不清楚這三輛車(chē)的舒適程度,也不知道汽車(chē)開(kāi)來(lái)的順序,兩人采用了不同的乘車(chē)方案:
甲無(wú)論如何總是上開(kāi)來(lái)的第一輛車(chē),而乙則是先觀察后上車(chē),當(dāng)?shù)谝惠v車(chē)開(kāi)來(lái)時(shí),他不上車(chē),而是仔細(xì)觀察車(chē)輛的舒適狀況,如果第二輛車(chē)狀況比第一輛好,他就上第二輛車(chē),如果第二輛不比第一輛好,他就上第三輛車(chē).這三輛車(chē)的舒適程度為上、中、下三等,請(qǐng)解決下面的問(wèn)題:
(1)請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)形圖或列表的方法分析這三輛車(chē)出現(xiàn)的先后順序,寫(xiě)出所有可能的結(jié)果;(用上中下表示)
(2)分析甲、乙兩人采用的方案,誰(shuí)的方案使自己坐上上等車(chē)的可能性大,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD的邊AB:BC=3:2,點(diǎn)A(3,0),B(0,6)分別在x軸,y軸上,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,且與邊BC交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】解決問(wèn)題.
學(xué)校要購(gòu)買(mǎi)A,B兩種型號(hào)的足球,按體育器材門(mén)市足球銷(xiāo)售價(jià)格(單價(jià))計(jì)算:若買(mǎi)2個(gè)A型足球和3個(gè)B型足球,則要花費(fèi)370元,若買(mǎi)3個(gè)A型足球和1個(gè)B型足球,則要花費(fèi)240元.
(1)求A,B兩種型號(hào)足球的銷(xiāo)售價(jià)格各是多少元/個(gè)?
(2)學(xué)校擬向該體育器材門(mén)市購(gòu)買(mǎi)A,B兩種型號(hào)的足球共20個(gè),且費(fèi)用不低于1300元,不超過(guò)1500元,則有哪幾種購(gòu)球方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,線段OA=2,OP=1,將線段OP繞點(diǎn)O任意旋轉(zhuǎn)時(shí),線段AP的長(zhǎng)度也隨之改變,則下列結(jié)論:
①AP的最小值是1,最大值是4;
②當(dāng)AP=2時(shí),△APO是等腰三角形;
③當(dāng)AP=1時(shí),△APO是等腰三角形;
④當(dāng)AP=時(shí),△APO是直角三角形;
⑤當(dāng)AP=時(shí),△APO是直角三角形.
其中正確的是( )
A. ①④⑤ B. ②③⑤ C. ②④⑤ D. ③④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】重慶朝天門(mén)碼頭位于置慶市油中半島的嘉陵江與長(zhǎng)江交匯處,是重慶最古老的碼頭.如圖,小王在碼頭某點(diǎn)E處測(cè)得朝天門(mén)廣場(chǎng)上的某高樓AB的頂端A的仰角為45°,接著他沿著坡度為1:2.4的斜坡EC走了26米到達(dá)坡頂C處,到C處后繼續(xù)朝高樓AB的方向前行16米到D處,在D處測(cè)得A的仰角為74°,則此時(shí)小王距高樓的距離BD的為( 。┟祝ńY(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):sin74°≈0.96,cos74°≈0.28,tan74°≈3.49)
A.12B.13C.15D.16
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C = 90°,點(diǎn)O是斜邊AB上一定點(diǎn),到點(diǎn)O的距離等于OB的所有點(diǎn)組成圖形W,圖形W與AB,BC分別交于點(diǎn)D,E,連接AE,DE,∠AED=∠B.
(1)判斷圖形W與AE所在直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明.
(2)若,,求OB.
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