Question

11．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O．過O作EF∥BC交AB于E，交AC于F．
（1）請你寫出圖中所有等腰三角形；
（2）判斷EF、BE、FC之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，等量代換得到∠AEF=∠AFE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，根據(jù)角平分線的定義得到∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，等量代換得到∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，得到∠DBC=∠DCB，即可得到結(jié)論；
（2）由（1）證得DE=BE，DF=CF，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點D，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC=∠DCB，
∴BE=DE，DF=CF，
∴△ABC，△AEF，△BOC，△BEO，△CFO是等腰三角形；

（2）EF=BE+CF，
理由：由（1）證得：DE=BE，DF=CF，
∴EF=DE+DF=BE+CF．

點評 此題考查了等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，利用了等量代換的思想，熟練掌握性質(zhì)與判定是解本題的關(guān)鍵．