【題目】如圖,已知拋物線y=﹣ x2+bx+4與x軸相交于A,B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,若已知B點(diǎn)的坐標(biāo)為B(8,0)

(1)求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸.
(2)連接AC、BC,試判斷△AOC與△COB是否相似?并說(shuō)明理由.
(3)M為拋物線上BC之間的一點(diǎn),N為線段BC上的一點(diǎn),若MN∥y軸,求MN的最大值;
(4)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使△ACQ為等腰三角形?若存在,求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

解:∵點(diǎn)B(8,0)在拋物線y=﹣ x2+bx+4上,

∴﹣ ×64+8b+4=0,

解得:b= ,

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+4,

對(duì)稱軸為直線x=﹣ =3


(2)

解:△AOC∽△COB.

理由如下:令y=0,則﹣ x2+ x+4=0,

即x2﹣6x﹣16=0,

解得:x1=﹣2,x2=8,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2,0),

令x=0,則y=4,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4),

∴OA=2,OB=8,OC=4,

= =2,∠AOC=∠COB=90°,

∴△AOC∽△COB


(3)

解:設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

解得: ,

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+4,

∵M(jìn)N∥y軸,

∴MN=﹣ x2+ x+4﹣(﹣ x+4),

=﹣ x2+ x+4+ x﹣4,

=﹣ x2+2x,

=﹣ (x﹣4)2+4,

∴當(dāng)x=4時(shí),MN的值最大,最大值為4


(4)

解:由勾股定理得,AC= =2 ,

過(guò)點(diǎn)C作CD⊥對(duì)稱軸于D,則CD=3,

①AC=CQ時(shí),DQ= = = ,

點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方時(shí),點(diǎn)Q到x軸的距離為4+

此時(shí)點(diǎn)Q1(3,4+ ),

點(diǎn)Q在點(diǎn)D的下方時(shí),點(diǎn)Q到x軸的距離為4﹣ ,

此時(shí)點(diǎn)Q2(3,4﹣ ),

②點(diǎn)Q為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)時(shí),AQ=5,

CQ= =5,

∴AQ=CQ,

此時(shí),點(diǎn)Q3(3,0),

③當(dāng)AC=AQ時(shí),∵AC=2 ,點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離為5,2 <5,

∴這種情形不存在.

綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,4+ )或(3,4﹣ )或(3,0)時(shí),△ACQ為等腰三角形.


【解析】(1)把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b的值,即可得到拋物線解析式,再根據(jù)對(duì)稱軸方程列式計(jì)算即可得解;(2)令y=0,解方程求出點(diǎn)A的坐標(biāo),令x=0求出y的值得到點(diǎn)C的坐標(biāo),再求出OA、OB、OC,然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例,夾角相等的兩個(gè)三角形相似證明;(3)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,利用待定系數(shù)法求出解析式,再表示出MN,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答;(4)利用勾股定理列式求出AC,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥對(duì)稱軸于D,然后分①AC=CQ時(shí),利用勾股定理列式求出DQ,分點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方和下方兩種情況求出點(diǎn)Q到x軸的距離,再寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可;②點(diǎn)Q為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)時(shí),AQ=CQ,再寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí),掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn),以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解,了解增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減小;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某校倡議八年級(jí)學(xué)生利用雙休日在各自社區(qū)參加義務(wù)勞動(dòng),為了解同學(xué)們勞動(dòng)情況,學(xué)校隨機(jī)抽查了部分學(xué)生的勞動(dòng)時(shí)間,并用得到的數(shù)據(jù)繪制成不完整的統(tǒng)計(jì)圖表,如圖所示:

勞動(dòng)時(shí)間(時(shí))

頻數(shù)(人數(shù))

頻率

0.5

12

0.12

1

30

0.3

1.5

x

0.5

2

8

y

合計(jì)

m

1

(1)統(tǒng)計(jì)表中的m=   ,x=   ,y=   ;

(2)被抽樣調(diào)查的同學(xué)勞動(dòng)時(shí)間的眾數(shù)是   ,中位數(shù)是   

(3)請(qǐng)將條形圖補(bǔ)充完整;

(4)求所有被調(diào)查同學(xué)的平均勞動(dòng)時(shí)間.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,數(shù)軸上ABC三點(diǎn)表示的數(shù)分別為、、,且、滿足

(1)= , = ;

(2)動(dòng)點(diǎn)PA點(diǎn)出發(fā),以每秒10個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng),到達(dá)B點(diǎn)停留片刻后立即以每秒6個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸返回到A點(diǎn),共用了6秒;其中從CB,返回時(shí)從BC(包括在B點(diǎn)停留的時(shí)間)共用了2

①求C點(diǎn)表示的數(shù)

②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,求為何值時(shí),點(diǎn)PAB、C三點(diǎn)的距離之和為23個(gè)單位?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了方便居民低碳出行,2015年12月30日,湘潭市公共自行車租賃系統(tǒng)(一期)試運(yùn)行以來(lái),越來(lái)越多的居民選擇公共自行車作為出行的交通工具,市區(qū)某中學(xué)課外興趣小組為了了解某小區(qū)居民出行方式的變化情況,隨機(jī)抽取了該小區(qū)部分居民進(jìn)行調(diào)查,并繪制了如圖的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖(部分信息未給出).
請(qǐng)根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)圖,解答下列問(wèn)題:
(1)被調(diào)查的總?cè)藬?shù)是人;
(2)公共自行車租賃系統(tǒng)運(yùn)行后,被調(diào)查居民選擇自行車作為出行方式的百分比提高了多少?
(3)如果該小區(qū)共有居民2000人,公共自行車租賃系統(tǒng)運(yùn)行后估計(jì)選擇自行車作為出行方式的有多少人?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了維護(hù)海洋權(quán)益,新組建的國(guó)家海洋局加大了在南海的巡邏力度,一天,我兩艘海監(jiān)船剛好在我某島東西海岸線上的A、B兩處巡邏,同時(shí)發(fā)現(xiàn)一艘不明國(guó)籍的船只停在C處海域.如圖所示,AB=60( )海里,在B處測(cè)得C在北偏東45°的方向上,A處測(cè)得C在北偏西30°的方向上,在海岸線AB上有一燈塔D,測(cè)得AD=120( )海里.

(1)分別求出A與C及B與C的距離AC、BC(結(jié)果保留根號(hào))
(2)已知在燈塔D周圍100海里范圍內(nèi)有暗礁群,我在A處海監(jiān)船沿AC前往C處盤查,圖中有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)?
(參考數(shù)據(jù): =1.41, =1.73, =2.45)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】現(xiàn)在,蘇寧商場(chǎng)進(jìn)行促銷活動(dòng),出售一種優(yōu)惠購(gòu)物卡(注:此卡只作為購(gòu)物優(yōu)惠憑證不能頂替貨款),花300元買這種卡后,憑卡可在這家商場(chǎng)按標(biāo)價(jià)的8折購(gòu)物.

(1)顧客購(gòu)買多少元金額的商品時(shí),買卡與不買卡花錢相等?在什么情況下購(gòu)物合算?

(2)小張要買一臺(tái)標(biāo)價(jià)為3500元的冰箱,如何購(gòu)買合算?小張能節(jié)省多少元錢?

(3)小張按合算的方案,把這臺(tái)冰箱買下,如果商場(chǎng)還能盈利25%,這臺(tái)冰箱的進(jìn)價(jià)是多少元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】①下午 2 點(diǎn) 10 分時(shí),鐘表的時(shí)針和分針?biāo)射J角是________;

②如圖,射線 OC,OD 在∠AOB 的內(nèi)部,射線 OM,ON 分別平分∠AOD,∠BOC, 且∠BON=50°,∠AOM=40°,∠COD=30°,則∠AOB 的度數(shù)為______

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值時(shí),李敏發(fā)現(xiàn):從第二個(gè)加數(shù)起每一個(gè)加數(shù)都是前一個(gè)加數(shù)的3倍,于是她假設(shè):S=1+3+32+33+34+35+36+37+38,

然后在①式的兩邊都乘3,得3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39

①得,3S-S=39-1,即2S=39-1,

所以S=.

得出答案后,愛(ài)動(dòng)腦筋的張紅想:如果把“3”換成字母a(a≠0a≠1),能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2 017的值?如能求出,其正確答案是__________.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,小島在港口P的北偏西60°方向,距港口56海里的A處,貨船從港口P出發(fā),沿北偏東45°方向勻速駛離港口P,4小時(shí)后貨船在小島的正東方向.求貨船的航行速度.(精確到0.1海里/時(shí),參考數(shù)據(jù): ≈1.41, ≈1.73)

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