Question

【題目】如圖，已知一個(gè)三角形紙片ACB，其中∠ACB=90°，AC=8，BC=6，E、F分別是AC、AB邊上的點(diǎn)，連接EF．（1）如圖1，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，且使S四邊形ECBF=4S△EDF，求ED的長(zhǎng)；

（2）如圖2，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，且使MF∥CA．

①試判斷四邊形AEMF的形狀，并證明你的結(jié)論；

②求EF的長(zhǎng)；

（3）如圖3，若FE的延長(zhǎng)線(xiàn)與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N，CN=2，CE=，求的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）．

【解析】試題分析：（1）先利用折疊的性質(zhì)得到， ≌，則則易得S△ABC=5S△AEF，再證明然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長(zhǎng)；
（2）①通過(guò)證明四條邊相等判斷四邊形AEMF為菱形；
②連結(jié)AM交EF于點(diǎn)O，如圖②，設(shè)則先證明 得到解出后計(jì)算出再利用勾股定理計(jì)算出AM，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算EF；
（3）如圖③，作作于H，先證明利用相似比得到設(shè)，則 再證明利用相似比可計(jì)算出則可計(jì)算出和，接著利用勾股定理計(jì)算出，從而得到的長(zhǎng)，于是可計(jì)算出的值．

試題解析：（1）∵的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，

∴ ， ≌，

∴

∵S四邊形ECBF=

∴S△ABC=5S△AEF，

在Rt 中，∵

∴

∵

∴

即

∴

由折疊知，

（2）①連結(jié)AM交EF于點(diǎn)O，如圖2，

∵的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，

∴

∵MF∥AC，

∴

∴

∴

∴

∴四邊形AEMF為菱形，

②設(shè)則

∵四邊形AEMF為菱形，

∴EM∥AB，

∴

∴

即

解得

在Rt 中，

∵S菱形AEMF

∴

（3）如圖③，作于H，

∵EC∥FH，

∴

∴

∴

∴

設(shè)，則

∵FH∥AC，

∴

∴

∴

∴

在Rt 中，

∴

∴