Question

16．如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A（20，0），C（0，8），點D是OA的中點，點P在BC邊上以每秒1個單位長度的速度由點C向點B運動．
（1）當t為何值時，四邊形PODB是平行四邊形？
（2）在線段PB上是否存在一點Q，使得ODQP為菱形？若存在，求t的值，并求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）當△OPD為等腰三角形時，寫出點P的坐標（不必寫過程）．

Answer 1

分析 （1）由于PB∥OD，根據(jù)平行四邊形的判定可知當PB=OD=10時，四邊形PODB是平行四邊形，再求出PC=10，從而求出t的值；
（2）根據(jù)菱形的判定，當OD=OP=PQ=10時，ODQP為菱形，在Rt△OPC中，利用勾股定理求出CP的值，進而求出t的值及Q點的坐標；
（3）當△OPD為等腰三角形時，分三種情況進行討論：①如果O為頂點，那么OP=OD=10；②如果P為頂點，那么PO=PD；③如果D為頂點，那么DP=DO=10．

解答 解：（1）∵A（20，0），C（0，8），
∴OA=20，OC=8，
∵點D是OA的中點，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=10，
∵四邊形OABC為矩形，
∴BC=OA=20，
∵四邊形PODB是平行四邊形，
∴PB=OD=10，
∴PC=BC-PB=10，
∴t=10；

（2）如圖1，∵四邊形ODQP為菱形，
∴OD=OP=PQ=10，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=$\sqrt{O{P}^{2}-O{C}^{2}}$=6，
∴t=6，
∴CQ=CP+PQ=6+10=16，
∴Q點的坐標為（16，8）；

（3）如圖2，△OPD為等腰三角形時，分三種情況：
①如果O為頂點，那么OP=OD=10，
由勾股定理可以求得PC=6，此時P₁（6，8）；
②如果P為頂點，那么PO=PD，
作PE⊥OA于E，則OE=ED=5，此時P₂（5，8）；
③如果D為頂點，那么DP=DO=10，
作DF⊥BC于F，由勾股定理，得PF=6，
∴P₃C=10-6=4或P₄C=10+6=16，此時P₃（4，8），P₄（16，8）．
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為P₁（6，8），P₂（5，8），P₃（4，8），P₄（16，8）．

點評 此題屬于四邊形綜合題．考查了矩形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)以及勾股定理的運用．注意利用數(shù)形結(jié)合、分類討論思想求解是解題的關(guān)鍵．