Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，點B是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上任意一點，將點B繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°到點A．
（1）若點A的坐標為（4，2）．
①求k的值；
②在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上是否存在一點P，使得△AOP是等腰三角形且∠AOP是頂角，若存在，寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（2）當(dāng)k=-1，點B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上運動時，判斷點A在怎樣的圖象上運動？并寫出表達式．

Answer 1

分析 （1）①過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，通過同角的余角相等結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證出△BOF≌△OAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出相等邊，再結(jié)合點A的坐標以及點B所在的位置即可得出點B的坐標，由點B的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出k值；
②假設(shè)存在，設(shè)點P的坐標為（m，n），根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出關(guān)于m、n的二元二次方程組，解方程組即可得出點P的坐標；
（2）設(shè)點B的坐標為（a，b），由（1）①可知點A的坐標為（b，-a），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，如圖1所示．
∵BF⊥x軸，AE⊥x軸，
∴∠BFO=OEA=90°，
∴∠OBF+∠BOF=90°，∠BOF+∠AOE=90°，
∴∠OBF=∠AOE．
在△BOF和△OAE中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠BFO=∠OEA}\\{∠OBF=∠AOE}\\{OB=AO}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△OAE（AAS），
∴OF=AE，BF=OE．
∵點A（4，2），
∴點B（-2，4）．
∵點B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=-2×4=-8．
②假設(shè)存在，設(shè)點P的坐標為（m，n），
∵△AOP是等腰三角形且∠AOP是頂角，
∴OA=OP．
又∵點P在反比例函數(shù)y=-$\frac{8}{x}$的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mn=-8}\\{{m}^{2}+{n}^{2}={4}^{2}+{2}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{1}=-4}\\{{n}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{2}=4}\\{{n}_{2}=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{3}=2}\\{{n}_{3}=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{4}=-2}\\{{n}_{4}=4}\end{array}\right.$．
故在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上存在一點P，使得△AOP是等腰三角形且∠AOP是頂角，點P的坐標為（-4，2），（-2，4），（2，-4）或（4，-2）．
（2）設(shè)點B的坐標為（a，b），由（1）①可知點A的坐標為（b，-a），
∵k=-1，且點B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上運動，
∴ab=-1，
∴b•（-a）=-ab=1，
∴點A在y=$\frac{1}{x}$上運動．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及解二元二次方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）①找出點B的坐標；②找出關(guān)于m、n的二元二次方程組；（2）根據(jù)點B的坐標表示出點A的坐標．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特性，由點B的坐標找出點A的坐標是關(guān)鍵．