Question

2．（一）知識拓展
如圖Ⅰ，AB∥CD，點E，F(xiàn)在AB上，點M，N在CD上，則S_△MNE=S_△MNF．即同底（或等底）等高（或同高）的三角形的面積相等．
（二）解決問題．
數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)利用含30°的角的三個全等直角三角板拼了下面的圖形（如圖Ⅱ）．
已知∠ACB=∠AFE=∠DCF=90°，∠CAB=∠AEF=∠CDF=30°，點F在AB上．
（1）直接寫出圖中存在旋轉(zhuǎn)關(guān)系的一對三角形；
（2）連接AD，判斷四邊形ADFE的形狀，并寫出理由．
（3）若點G是邊DF上任意一點，連接GB，GC，設(shè)△CAF的面積為S₁，△CBG的面積為S₂，寫出S₁與S₂間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)BC=FC，AC=DC，∠ACB=∠DCF，可得∠BCF=∠DCA，進(jìn)而得出存在旋轉(zhuǎn)關(guān)系的一對三角形；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，AE=FD，根據(jù)平行線的判定，可得AE∥DF，進(jìn)而可得四邊形AEFD是平行四邊形；
（3）根據(jù)DF∥CB，可得△BCF的面積=△BCG的面積，再根據(jù)AF=BF，可得△BCF的面積=△ACF的面積，最后得出S₁與S₂間的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）∵△ABC≌△DFC，
∴BC=FC，AC=DC，∠ACB=∠DCF，
∴∠BCF=∠DCA，
∴存在旋轉(zhuǎn)關(guān)系的一對三角形為△ABC和△DFC；

（2）四邊形ADFE的形狀是平行四邊形．
理由：∵△ABC≌△DFC≌△EAF，
∴AE=FD，BC=FC，
又∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴△BCF是等邊三角形，
∴∠BFC=60°，
∴∠AFG=180°-60°-60°=60°，
∴∠EAF=∠AFG，
∴AE∥DF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（3）S₁=S₂．
證明：∵∠ABC=∠AFD=60°，
∴DF∥CB，
∴△BCF的面積=△BCG的面積，
∵AF=BF，
∴△BCF的面積=△ACF的面積，
∴△ACF的面積=△BCG的面積，
即S₁=S₂．

點評 本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的面積，以及平行四邊形的判定的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握同底（或等底）等高（或同高）的三角形的面積相等．解題時注意：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．