Question

【題目】如圖，在直角梯形 AOBC 中，AC∥OB，且 OB＝6，AC＝5，OA＝4．

（1）求 B、C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）以 O、A、B、C 中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成哪幾個(gè)不同的三角形？

（3）是否在邊 AC 和 BC(含端點(diǎn))上分別存在點(diǎn) M 和點(diǎn) N，使得△MON 的面積最大時(shí)，它的周長還最短？若存在，說明理由，并求出這時(shí)點(diǎn) M、N 的坐標(biāo)；若不存在，為什么？

Answer 1

【答案】（1）B點(diǎn)坐標(biāo)為：(6，0)，C點(diǎn)坐標(biāo)為：(5，4)；（2）可組成的三角形為：△AOB，△AOC，△BOC，△ABC四個(gè)不同的三角形；（3）存在，M點(diǎn)坐標(biāo)為：(3，4)，N點(diǎn)坐標(biāo)為：(6，0)，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)OB=6，點(diǎn)B在軸可得B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用平行線性質(zhì)結(jié)合AC=5以及OA=4進(jìn)一步得出點(diǎn)C坐標(biāo)即可；

（2）根據(jù)不在同一條直線上的三點(diǎn)可以組成一個(gè)三角形，得到以O、A、B、C中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成4個(gè)不同的三角形，從而得出答案；

（3）如圖，過點(diǎn)M作MP∥OA交ON于點(diǎn)P，過點(diǎn)N作NQ∥OB，分別交OA、MP于點(diǎn)Q、G，則△MON的面積=△OMP的面積+△NMP的面積=，據(jù)此進(jìn)一步根據(jù)題意分析討論即可.

（1）∵OB=6，，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：(6，0)，

∵AC∥OB，AC=5，OA=4，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：(5，4)；

（2）以 O、A、B、C 中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成的三角形為：△AOB，△AOC，△BOC，△ABC四個(gè)不同的三角形；

（3）

如圖，過點(diǎn)M作MP∥OA交ON于點(diǎn)P，過點(diǎn)N作NQ∥OB，分別交OA、MP于點(diǎn)Q、G，

則△MON的面積=△OMP的面積+△NMP的面積=，

∵MP≤OA，QN≤OB，

∴當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合，點(diǎn)M在AC上運(yùn)動時(shí)，QN、MP同時(shí)取得最大值BO、OA，

∴△MON的最大面積=，

∵點(diǎn)N與點(diǎn)B重合，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(6，0)，

如圖1，設(shè)O點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)為D，連接DB交AC于點(diǎn)M，

此時(shí)△MON的面積最大，周長最短，

∵AM∥BO，

∴，

即，

∴AM=3，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(3，4)，

∴存在點(diǎn)M與點(diǎn)N，使得△MON的面積最大時(shí)，其周長最短，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為：(3，4)，N點(diǎn)坐標(biāo)為：(6，0).