Question

【題目】已知，在矩形中，的平分線DE交BC邊于點E，點P在線段DE上（其中EP<PD）．

（1）如圖1，若點F在CD邊上（不與點C,D重合），將繞點P逆時針旋轉90°后，角的兩邊PD、PF分別交AD邊于點H、G．

①求證：；

②探究：、、之間有怎樣的數量關系，并證明你的結論；

（2）拓展：如圖2，若點F在CD的延長線上，過點P作，交射線DA于點G．你認為（2）中DF、DG、DP之間的數量關系是否仍然成立？若成立，給出證明，若不成立，請寫出它們所滿足的數量關系式，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②，詳見解析；（2）．詳見解析

【解析】

（1）①若證PG=PF，可證△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋轉可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC得△HPD為等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得證；
②由△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根據DG+DF=DG+GH=DH即可得；
（2）過點P作PH⊥PD交射線DA于點H，先證△HPD為等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再證△HPG≌△DPF可得HG=DF，根據DH=DG-HG=DG-DF可得DG-DF=DP．

解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，
∴∠GPH=∠FPD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠PDF=∠ADP=45°，
∴△HPD為等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠PDF=45°，
在△HPG和△DPF中，
∵ ，
∴△HPG≌△DPF（ASA），
∴PG=PF；
②結論：DG+DF=DP，
由①知，△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，
∴HD=DP，HG=DF，
∴HD=HG+DG=DF+DG，
∴DG+DF=DP；
（2）不成立，數量關系式應為：DG-DF=DP，
如圖，過點P作PH⊥PD交射線DA于點H，

∵PF⊥PG，
∴∠GPF=∠HPD=90°，
∴∠GPH=∠FPD，
∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD為等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=DP，
∴∠GHP=∠FDP=180°-45°=135°，
在△HPG和△DPF中，
∵
∴△HPG≌△DPF，
∴HG=DF，
∴DH=DG-HG=DG-DF，
∴DG-DF=DP．