Question

數(shù)學(xué)課上，老師出示了如下框中的題目，

在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，

點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED＝EC，        

如圖13，試確定線段

AE與DB的數(shù)量關(guān)                             圖13

系，并說(shuō)明理由.                                

小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：

（1）特殊情況，探索結(jié)論

當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖14（1），確定線段AE與DB的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE______DB（填“＞”“＜”或“=”）．

 

圖14

（2）特例啟發(fā)，解答題目

解：題目中，AE與DB的數(shù)量關(guān)系是：AE______DB（填“＞”“＜”或“=”），理由如下：如圖14（2），過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）

 （3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題

在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC，若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，求CD的長(zhǎng)．（請(qǐng)你直接寫出結(jié)果）

Answer 1

解：（1）＝  （2）＝；

在等邊三角形ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

因?yàn)?i>EF∥BC，

所以∠AEF=∠AFE =60°=∠BAC．

所以△AEF是等邊三角形，

所以AE=AF=EF，

所以，即BE=CF.

因?yàn)?i>ED=EC，

所以∠EDB=∠ECB，

又因?yàn)椤?i>ABC=∠EDB+∠BED=60°,

∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°,

所以∠BED=∠FCE，

所以△DBE≌△EFC，

所以DB=EF，

所以AE=DB.

(3)1或3.

點(diǎn)撥：(1)利用等邊三角形三線合一知，∠ECB=30°，又ED=EC，則∠D=30°，所以

∠DEC=120°，則∠DEB=30°=∠D,所以DB＝EB＝AE；(2)先證

△AEF為等邊三角形，再證△EFC≌△DBE，可得AE=DB；(3)當(dāng)E在射線AB上時(shí)，如答圖4（1），AB＝BC＝EB＝1，∠EBC＝120°，所以∠BCE＝30°，因?yàn)?i>ED＝EC，所以∠D＝30°，則∠DEB＝90°，所以DB＝2EB＝2，所以CD＝2+1＝3；

當(dāng)E在射線BA上時(shí)，如答圖4（2），過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F，則∠BEF＝30°，所以BF＝BE＝1.5,

所以CF＝0.5，因?yàn)?i>EC＝ED，EF⊥CD，

所以CD＝2CF＝1.

綜上，CD的長(zhǎng)為1或3．             

 

答圖4