Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四邊形CEDF不可能為正方形；
③四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化；
④點(diǎn)C到線段EF的最大距離為 ．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①連接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．（故①正確）；
②當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDFE是正方形（故②錯(cuò)誤）；
③如圖2所示，分別過點(diǎn)D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于點(diǎn)M，N，
可以利用割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積，故面積保持不變（故③錯(cuò)誤）；
④△DEF是等腰直角三角形， DE=EF，
當(dāng)EF∥AB時(shí)，∵AE=CF，
∴E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，故EF是△ABC的中位線，
∴EF取最小值 =2 ，∵CE=CF=2，∴此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為 EF= ．（故④正確）；
故正確的有2個(gè)，
故選：B．


【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等腰直角三角形，需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°才能得出正確答案．