Question

3．如圖，四邊形ABCD是菱形，過AB的中點E作AC的垂線EF，交AD于點M，交CD的延長線于點F．求證：AM=DM．

Answer 1

分析 連接AC，利用菱形的性質可得BD⊥AC，AB∥CD，然后證明四邊形EFDB是平行四邊形，可得DF=EB，再證明△AME≌△DMF可得AM=DM．

解答 證明：連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB∥CD，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，
∴四邊形EFDB是平行四邊形，
∴DF=EB，
∵E是AB中點，
∴AE=EB，
∴AE=DF，
∵AB∥CD，
∴∠EAM=∠ADF，
在△AEM和△DMF中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAM=∠FDM}\\{∠AME=∠DMF}\\{AE=FD}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△DMF（AAS），
∴AM=DM．

點評 此題主要考查了菱形的性質，關鍵是掌握菱形的對邊平行，對角線互相垂直．