Question

【題目】如圖，點(diǎn)A從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，4），M是線段AB的中點(diǎn)，將點(diǎn)M繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為F，過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線與直線CF相交于點(diǎn)E，連接AC，BC，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為t．

（1）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E恰好重合時(shí)，求t的值；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，BC取得最小值；
（3）設(shè)△BCE的面積為S，當(dāng)S=6時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)，如圖1，

則OB=EF=4，OA=t，且AB=2AE，

∵由題意可知∠BAE=90°，

∴∠EAF+∠BAO=∠EAF+∠AEF=90°，

∴∠AEF=∠BAO，且∠EFA=∠AOB，

∴Rt△AEF∽R(shí)t△BAO，

∴ = = ，即 = ，解得t=8

（2）解：如圖2，

∵AB=2AC，

∴BC= = AC，

∴ ，

在Rt△AOB中，由勾股定理可得 ，

∴當(dāng)t=0時(shí)，AB有最小，則BC有最小值

（3）解：①當(dāng)0＜t≤8時(shí)，則點(diǎn)C在點(diǎn)E的下方，如圖2，

同（1）可知 = = ，解得AF=2，CF= t，

∴BE=OF=OA+AF=t+2，CE=EF﹣CF=4﹣ t，

∴S= BECE= （t+2）（4﹣ t）=﹣ t2+ t+4，

令S=6，可得﹣ t2+ t+4=6，解得t=2或t=4；

②當(dāng)t＞8時(shí)，則點(diǎn)C在點(diǎn)E的上方，如圖3，

則CE=CF﹣EF= t﹣4，

∴S= BECE= （t+2）（ t﹣4）= t2﹣ t﹣4，

令S=6可得 t2﹣ t﹣4=6，解得t=﹣4（舍去）或t=10，

即當(dāng)S的值為6時(shí)，t的值為2或4或10

【解析】（1）首先證明△AEF∽△BAO，然后依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)列方出求解即可；
（2）在Rt△ABC中可求得BC和AB的關(guān)系，然后在Rt△AOB中，用t可表示出AB，然后再可用t表示出BC，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得BC取得最小值時(shí)t的值；
（3）分為0＜t≤8和t＞8兩種情況求得S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，最后，再令S=6，從而可得到關(guān)于t的方程，從而可求得t的值.