Question

如圖，AC是∠BAD的角平分線(xiàn)，∠BAD=120°；點(diǎn)C是線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，且CD=3cm．請(qǐng)根據(jù)以上條件計(jì)算：∠1的度數(shù)，∠3的度數(shù)，線(xiàn)段BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：過(guò)C分別作出邊AD和AB的垂線(xiàn)CE與CF，由AC為角平分線(xiàn)，此時(shí)由∠BAD的度數(shù)即可求出∠1的度數(shù)，根據(jù)角平分線(xiàn)定理：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可得出CE=CF，又C為BD的中點(diǎn)，可得DC=BC，此時(shí)由CD的長(zhǎng)，即可求出BD的長(zhǎng)，利用HL可證明直角三角形DEC與直角三角形BFC全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得∠3=∠B，等角對(duì)等邊可得三角形ABD為等腰三角形，再由AC為底邊上的中線(xiàn)，根據(jù)三線(xiàn)合一得到AC垂直于DB，可得∠ACD為直角，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，由∠1和∠ACD即可求出∠3的度數(shù)．

解答：
解：過(guò)C作CE⊥AD，交AD于E，過(guò)C作CF⊥AB，交AB于F，
∵AC是∠BAD的角平分線(xiàn)，∠BAD=120°，
∴∠1=∠2=60°，
又AC是∠BAD的角平分線(xiàn)，CE⊥AB，CF⊥AB，
∴CE=CF，又C是線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，且CD=3cm，可得BD=2CD=2BC=6cm，
在Rt△DEC和Rt△BFC中，

DC=BC CE=CF

，
∴Rt△DEC≌Rt△BFC（HL），
∴∠3=∠B，
∴AD=AB，又AC為底邊DB的中線(xiàn)，
∴AC⊥DB，
∴∠ACD=90°，
∴∠3=180°-∠1-∠ACD=30°，
則∠1=60°∠3=30°，BD=6cm．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)定義及中線(xiàn)的定義，解題思路為：作出輔助線(xiàn)CE和CF，利用角平分線(xiàn)定理得出CE=CF，進(jìn)而判定出三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，利用等角對(duì)等邊得出等腰三角形，進(jìn)而利用三線(xiàn)合一來(lái)解決問(wèn)題．