Question

【題目】如圖，已知為直角三角形，，，點在軸上，點坐標為，線段與軸相交于點，以為頂點的拋物線過點．

（1）求點的坐標（用表示）；

（2）求拋物線的解析式；

（3）設(shè)點為拋物線上點至點之間的一動點，連接并延長交于點，連接并延長交于點，試證明：為定值．

Answer 1

【答案】（1）點的坐標是；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）AO=AC-OC=m-3，用線段的長度表示點A的坐標；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD=OA，∴D（0，m-3），又P（1，0）為拋物線頂點，可設(shè)頂點式，求解析式；
（3）設(shè)Q（x，x2-2x+1），過Q點分別作x軸，y軸的垂線，運用相似比求出FC、EC的長，而AC=m，代入即可．

（1）解：由可知，，又為等腰直角三角形，

∴，，

∴點的坐標是；

（2）解：∵，

∴,則點的坐標是，

又拋物線頂點為，且過點，

所以可設(shè)拋物線的解析式為：，

得 ，解得：，

∴拋物線的解析式為；

（3）證明：過點作于點，過點作于點，

設(shè)點的坐標是，

則，，

∵，

∴∽，

∴,即，

得，

∵，

∴∽，

∴,即，

得，

又∵，

∴，

即為定值8.