Question

【題目】已知直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B，PD交⊙O于點(diǎn)C、D，PE是⊙O的切線，E為切點(diǎn)，連結(jié)AE，交CD于點(diǎn)F．
（1）若⊙O的半徑為8，求CD的長(zhǎng)；
（2）證明：PE=PF；
（3）若PF=13，sinA= ，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OD，

∵直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B，⊙O的半徑為8，

∴OB= OA=4，BC=BD= CD，

∴在Rt△OBD中，BD= =4 ，

∴CD=2BD=8

（2）證明：∵PE是⊙O的切線，

∴∠PEO=90°，

∴∠PEF=90°﹣∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°﹣∠A，

∵OE=OA，

∴∠A=∠AEO，

∴∠PEF=∠PFE，

∴PE=PF

（3）解：過點(diǎn)P作PG⊥EF于點(diǎn)G，

∴∠PGF=∠ABF=90°，

∵∠PFG=∠AFB，

∴∠FPG=∠A，

∴FG=PFsinA=13× =5，

∵PE=PF，

∴EF=2FG=10．

【解析】（1）首先連接OD，由直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B，⊙O的半徑為8，可求得OB的長(zhǎng)，又由勾股定理，可求得BD的長(zhǎng)，然后由垂徑定理，求得CD的長(zhǎng)；（2）由PE是⊙O的切線，易證得∠PEF=90°﹣∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°﹣∠A，繼而可證得∠PEF=∠PFE，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)，可得PE=PF；（3）首先過點(diǎn)P作PG⊥EF于點(diǎn)G，易得∠FPG=∠A，即可得FG=PFsinA=13× =5，又由等腰三角形的性質(zhì)，求得答案．