Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，將拋物線C₁：y=x²+3先向右平移1個單位，再向下平移7個單位得到拋物線C₂．C₂的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)）．
（1）求拋物線C₂的解析式；
（2）若拋物線C₂的對稱軸與x軸交于點C，與拋物線C₂交于點D，與拋物線C₁交于點E，連結(jié)AD、DB、BE、EA，請證明四邊形ADBE是菱形，并計算它的面積；
（3）若點F為對稱軸DE上任意一點，在拋物線C₂上是否存在這樣的點G，使以O(shè)、B、F、G四點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請求出點G的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵將拋物線C₁：y=x²+3先向右平移1個單位，再向下平移7個單位得到拋物線C₂，
∴拋物線C₁的頂點（0，3）向右平移1個單位，再向下平移7個單位得到（1，-4）．
∴拋物線C₂的頂點坐標為（1，-4）．
∴拋物線C₂的解析式為y=（x-1）²-4，
即y=x²-2x-3；

（2）證明：由x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∵點A在點B的左側(cè)，
∴A（-1，0），B（3，0），AB=4．
∵拋物線C₂的對稱軸為x=1，頂點坐標D為（1，-4），
∴CD=4．AC=CB=2．
將x=1代入y=x²+3得y=4，
∴F（1，4），CE=CD．
∴四邊形ADBE是平行四邊形．
∵ED⊥AB，
∴四邊形ADBE是菱形．
S_菱形ADBE=2×

1

2

×AB×CE=2×

1

2

×4×4=16．

（3）存在．分OB為平行四邊形的邊和對角線兩種情況：
①當OB為平行四邊形的一邊時，如圖1，
設(shè)F（1，y），
∵OB=3，∴G₁（-2，y）或G₂（4，y）．
∵點G在y=x²-2x-3上，
∴將x=-2代入，得y=5；將x=4代入，得y=5．
∴G₁（-2，5），G₂（4，5）．
②當OB為平行四邊形的一對角線時，如圖2，
設(shè)F（1，y），OB的中點M，過點G作GH⊥OB于點H，
∵OB=3，OC=1，∴OM=

3

2

，CM=

1

2

．
∵△CFM≌△HGM（AAS），∴HM=CM=

1

2

．∴OH=2．
∴G₃（2，-y）．
∵點G在y=x²-2x-3上，
∴將（2，-y）代入，得-y=-3，即y=3．
∴G₃（2，-3）．
綜上所述，在拋物線C₂上是否存在這樣的點G，使以O(shè)、B、F、G四點為頂點的四邊形是平行四邊形，點G的坐標為G₁（-2，5），G₂（4，5），G₃（2，-3）．