Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙A的半徑為3，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），C、E分別是⊙A與y軸、x軸的交點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作⊙A的切線BC交x軸于點(diǎn)B．
（1）求直線BC的解析式；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)B、A兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線BC上，求此拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PCE和△CBE相似？若存在，請(qǐng)你求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）連接AC，由直線BC為圓A的切線，得到CA⊥CB，
又∵⊙A的半徑為3，
∴AC=3，
又∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），即OA=2，
在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：OC=

AC2-OA2

=

5

，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，

5

），
又∠OCB+∠OCA=90°，∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠OCB=∠OAC，又∠COB=∠AOC=90°，
∴△BOC∽△COA，
∴

BO

OC

=

OC

OA

，又OC=

5

，OA=2，
∴BO=

5

2

，即B（-

5

2

，0），
設(shè)直線BC的方程為y=kx+b，
把B和C的坐標(biāo)代入得：

b= 5 - 5 2 k+b=0

，
解得：k=

2 5

5

，b=

5

，
則直線BC的方程為y=

2 5

5

x+

5

；

（2）拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)B、A兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線BC上，
∵A（2，0），B（-

5

2

，0），
∴

2- 5 2

2

=-

1

4

，
∴對(duì)稱軸為直線x=-

1

4

，即頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為-

1

4

，
把x=-

1

4

代入y=

2 5

5

x+

5

得：y=

9 5

10

，
則此拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

1

4

，

9 5

10

）；

（3）x軸上存在一點(diǎn)P，使△PCE和△CBE相似，理由如下：
∵AE=3，OA=2，
∴OE=1，
在Rt△OCE中，根據(jù)勾股定理得：CE=

OC2+OE2

=

6

，
∵OB=

5

2

，OE=1，
∴BE=1.5，
假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，如圖所示：

若△BCE∽△CPE，則有

CE

PE

=

BE

CE

，
即

6

PE

=

1.5

6

，
解得：PE=4，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5，0）；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，要使△CBE∽△PCE，則有∠BEC=∠CEP，
∴∠BEC=∠CEP=90°，與題設(shè)矛盾，
∴不存在這樣的P滿足題意，
綜上，滿足題意的P點(diǎn)有1個(gè)，P的坐標(biāo)為（-5，0）．