Question

已知拋物線y＝x²和直線y＝(m²－1)x＋m²．(1)當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)？(2)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線與直線的交點(diǎn)從左到右分別為A、B．如下圖所示，當(dāng)直線與拋物線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為3時(shí)，求△AOB中OB邊上的高．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由 　　∴x2－(m2－1)x－m2＝0．�、� 　　Δ＝[－(m2－1)]2－4×(－m2)＝(m2＋1)2＞0． 　　∴無論m取任何實(shí)數(shù)，方式①總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 　　即無論m取任何實(shí)數(shù)，直線與拋物線總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)． 　　(2)解方程①，有x1＝－1，x2＝m2．令|m2－(－1)|＝3． 　　有m2＋1＝3． 　　∴m＝±， 　　∴當(dāng)m＝±時(shí)，直線與拋物線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為3． 　　此時(shí)，y＝x＋2，A(－1，1)，B(2，4)． 　　由勾股定理，得|OA|＝，|OB|＝． 　　過B作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作BM的垂線，交BM于N．則|AN|＝3，|NB|＝3． 　　∴|AB|＝．∵|OA|2＋|AB|2＝|OB|2， 　　∴由勾股定理定理，知△AOB為直角三角形，且∠BAO＝90°． 　　設(shè)·＝·h． 　　∴h＝＝＝． 　　思路點(diǎn)撥：(1)聯(lián)立拋物線和直線方程得方程組，消去一個(gè)元y，得到關(guān)于x的一元二次方程，方程有兩個(gè)不同的解，判別式大于零，從而求出m的范圍； 　　(2)先由已知條件求出m的值，從而求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而運(yùn)用三角形面積公式及等面積法求出解． 　　評(píng)注：本題是一道拋物線與三角形結(jié)合的幾何問題，它主要考查了拋物線的有關(guān)概念及三角形中相關(guān)知識(shí)，比如判斷三角形形狀、計(jì)算三角形面積等．雖然是一道幾何題，但最終的解決，還是要轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解，這充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想． 　　第(2)題中，計(jì)算△OAB的面積還可以這樣解： 　　由前解題過程易得，直線AB的方程為y＝x＋2，點(diǎn)A(－1，1)，B(2，4)，|OB|＝， 　　設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)C，則C(0，2)， 　　從而S△OAB＝S△OCA＋S△OCB＝×2×(1＋2)＝3 　　也就是說計(jì)算△OAB的面積可用割補(bǔ)思想，這種思想在坐標(biāo)系中計(jì)算幾何圖形的面積經(jīng)常使用．需認(rèn)真領(lǐng)會(huì)．