Question

【題目】同學們都學習過《幾何》課本第三冊第199頁的第11題，它是這樣的：如圖，A為⊙O的直徑EF上的一點，OB是和這條直徑垂直的半徑，BA和⊙O相交于另一點C，過點C的切線和EF的延長線相交于點D，求證：DA＝DC．

（1）現將圖1中的直徑EF所在直線進行平行移動到圖2所示的位置，此時OB與EF垂直相交于H，其它條件不變．

①求證：DA＝DC；

②當DF：EF＝1：8，且DF＝時，求ABAC的值．

（2）將圖2中的EF所在直線繼續(xù)向上平行移動到圖3所示的位置，使EF與OB的延長線垂直相交于H，A為EF上異于H的一點，且AH小于⊙O的切線交EF于D，試猜想：DA＝DC是否仍然成立？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）①見解析②24（2）結論DA＝DC仍然成立

【解析】

（1）①連接OC，利用切線的性質則可得到OC⊥DC，然后得到∠DCA=90°-∠ACO=90°-∠B=∠DAC，利用等角對等邊得到DA=DC即可；
②利用DF：EF=1：8，DF=則可得到EF=8DF=8，然后利用切線長定理求得DC的長，進而得到DC、AD的長，然后利用切線長定理得：ABAC=AEAF=24；
（2）結論仍然成立，延長BO交⊙O于K，連CK，利用切線的性質可以得到∠DCA=∠CKB=90°-∠CBK，從而得到∠DCA=∠BAH，問題得證.

（1）①證明：連OC，則OC⊥DC，

∴∠DCA＝90°﹣∠ACO＝90°﹣∠B，

又∠DAC＝∠BAE＝90°﹣∠B，

∴∠DAC＝∠DCA∴DA＝DC，

②∵DF：EF＝1：8，DF＝，

∴EF＝8DF＝8，

又DC為切線，

∴DC2＝DFDE＝×9＝18，

∴DC＝3，

∴AD＝DC＝3，

∴AF＝AD﹣DF＝2，

∴AE＝EF﹣AF＝6，

∴ABAC＝AEAF＝24；

（2）結論DA＝DC仍然成立，理由如下：

延長BO交⊙O于K，連CK，則∠KCB＝90°，

又DC為⊙O的切線，

∴∠DCA＝∠CKB＝90°﹣∠CBK，

又∠BAH＝90°﹣∠HBA，

而∠CBK＝∠HBA，

∴∠DCA＝∠BAH，

∴DA＝DC．