Question

20．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形DFEC和BCGH是正方形．試問：線段
AC，EG有怎樣的關(guān)系？并加以證明．

Answer 1

分析 先證∠CGE+∠GCA=90°，我們發(fā)現(xiàn)∠GBA+∠ACB=90°，因此證明∠CGE=∠ACB就是問題的關(guān)鍵，我們可通過證明三角形ABC和ECG全等來實現(xiàn)．

解答 解：AC=EG，AC⊥EG；理由如下：
∵四邊形BCGH、EFDC為正方形，四邊形ABCD為平行四邊形，
∴GC∥BH，DC∥AB，∠HBC=∠ECD=90°，
∴∠HBA=∠GCD（兩邊分別平行的兩角相等或互補），
∴∠HBC+∠HBA=∠GCD+∠ECD，即90°+∠HBA=∠GCD+90°，
∴∠GCE=∠ABC，
∴AB=DC=EC，BC=CG，
在△ABC和和△ECG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=EC}&{\;}\\{∠ABC=∠GCE}&{\;}\\{BC=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ECG（SAS），
∴∠CGE=∠ACB，AC=EG，
∵∠ACB+∠GCA=90°，
∴∠CGE+∠GCA=90°，
∴AC⊥EG．

點評 本題主要考查了正方形、平行四邊形的性質(zhì)，通過全等三角形來得出角相等是解題的關(guān)鍵．