Question

【題目】

【發(fā)現(xiàn)】

如圖∠ACB=∠ADB=90°，那么點(diǎn)D在經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓上（如圖①）

【思考】

如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（點(diǎn)C，D在AB的同側(cè)），那么點(diǎn)D還在經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓上嗎？

請證明點(diǎn)D也不在⊙O內(nèi)．

【應(yīng)用】

利用【發(fā)現(xiàn)】和【思考】中的結(jié)論解決問題：若四邊形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，點(diǎn)E在邊AB上，CE⊥DE．

（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延長線于點(diǎn)F（如圖④），求證：DF為Rt△ACD的外接圓的切線；

（2）如圖⑤，點(diǎn)G在BC的延長線上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=，AD=1，求DG的長．

Answer 1

【答案】【思考】證明見試題解析；【應(yīng)用】（1）證明見試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：【思考】假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，由圓周角定理及三角形外角的性質(zhì)，可證得與條件相矛盾的結(jié)論，從而證得點(diǎn)D不在⊙O內(nèi)；

【應(yīng)用】（1）作出RT△ACD的外接圓，由發(fā)現(xiàn)可得點(diǎn)E在⊙O上，則∠ACD=∠FDA，又∠ACD+∠ADC=90°，有∠FDA+∠ADC=90°，即可得出DF是圓的切線；

（2）由【發(fā)現(xiàn)】和【思考】可得點(diǎn)G在過C、A、E三點(diǎn)的圓O上，證明四邊形AOGD是矩形，由已知條件解直角三角形ACD可得AC的長，即DG的長．

試題解析：【思考】如圖1，假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，延長AD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，則∠AEB=∠ACB，∵∠ADE是△BDE的外角，∴∠ADB＞∠AEB，∴∠ADB＞∠ACB，因此，∠ADB＞∠ACB這與條件∠ACB=∠ADB矛盾，所以點(diǎn)D也不在⊙O內(nèi)，所以點(diǎn)D即不在⊙O內(nèi)，也不在⊙O外，點(diǎn)D在⊙O上；

【應(yīng)用】

（1）如圖2，取CD的中點(diǎn)O，則點(diǎn)O是RT△ACD的外心，∵∠CAD=∠DEC=90°，∴點(diǎn)E在⊙O上，∴∠ACD=∠AED，∵∠FDA=∠AED，∴∠ACD=∠FDA，∵∠DAC=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°，∴∠FDA+∠ADC=90°，∴OD⊥DF，∴DF為Rt△ACD的外接圓的切線；

（2）∵∠BGE=∠BAC，∴點(diǎn)G在過C、A、E三點(diǎn)的圓上，如圖3，又∵過C、A、E三點(diǎn)的圓是RT△ACD的外接圓，即⊙O，∴點(diǎn)G在⊙O上，∵CD是直徑，∴∠DGC=90°，∵AD∥BC，∴∠ADG=90°，∵∠DAC=90°，∴四邊形ACGD是矩形，∴DG=AC，∵sin∠AED=，∠ACD=∠AED，∴sin∠ACD=，在RT△ACD中，AD=1，∴=，∴CD=，∴AC==，∴DG=．