Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點E、F、G.

(1)點F到△ABC的邊_______的距離相等，點F到△ABC的頂點______的距離相等.

(2)若BC=6，AD=9，求AF的值.

(3)連接CG交AD于點H，當∠BAC是多少度時，△FGH為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）AC，AB；A、B、C；（2）5；（3）45°或36°.

【解析】

（1）根據等腰三角形性質，AD平分∠BAC，AD垂直平分BC，F在AD上，根據角平分線性質解答；EF垂直平分AC，所以F為兩邊垂直平分線的交點．根據垂直平分線性質解答．

（2）連接FC,根據垂直平分線的性質得到AF=CF，設AF=x,則CF=x,DF=9-x,CD=BC=3,故利用Rt△FCD得到方程進行求解；

（3）根據△FGH為等腰三角形分三種情況分別討論，根據垂直平分線與三角形的內角和即可求解.

（1）∵AB＝AC，D是BC的中點，

∴AD平分∠BAC，AD垂直平分BC．

∵點F在AD上，

∴點F到AC、AB的距離相等；

∵EF垂直平分AC，AD垂直平分BC．

∴FA＝FB＝FC，即點F到A、B、C的距離相等．

故答案為 AC、AB； A、B、C．

（2）連接FC,根據垂直平分線的性質得到AF=CF，

設AF=x,則CF=x,DF=9-x,CD=BC=3,

在Rt△FCD中，

即

解得x=5,

故AF=5；

（3）①當FG=HG時，故∠GFH=∠GHF,

∵∠GFH=∠EFA,∠EFA+∠EAF=90°，

同理∠CHD+∠HCD=90°

∴∠EAF =∠HCD,

∵AD垂直平分BC，

∴∠EAF =∠BAD,

∴∠HCD=∠BAD

∵AD⊥BC，∠B=∠B

∴CG⊥AB，

又EG垂直平分AC，

∴AG=CG，

故∠BAC=45°，

②當FH=HG時，故∠HFG=∠HGF,

∵∠GFH=∠EFA,∠EFA+∠EAF=90°，

又∠HGF+∠ECG=90°

∴∠EAF=∠ECG

∵EG垂直平分AC，∴∠ECG=∠EAG

∴此情況不存在；

③當FH=FG時，故∠FHG=∠FGH

∵∠FHG =∠CHD,∠CHD+∠HCD=90°，

又∠HGF+∠ECG=90°

∴∠EAF=∠ECG

∴∠ECG =∠HCD,

∵AD垂直平分BC，

∴∠ECG =∠BAC

設∠BAC=a，故∠ACG=∠HCD=a,∠ACB=2a，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2a

故∠BAC+∠ABC+∠ACB=5a=180°，

解得x=36°，

綜上：∠BAC是45°或36°時，△FGH為等腰三角形.