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1.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中點,點E、F分別在AC、BC邊上運動(點E不與點A、C重合),且保持AE=CF,連接DE、DF、EF.
(1)求證:△DFE是等腰直角三角形;
(2)判斷在此運動變化的過程中,四邊形CEDF的面積是否為定值?若是定值,則求出該定值;若不是定值,說明理由.

分析 (1)連接CD,由SAS定理可證△CDF和△ADE全等,從而可證∠EDF=90°,DF=DE.所以△DEF是等腰直角三角形;
(2)由割補法可知四邊形CDFE的面積保持不變,利用三角形的面積公式求出答案.

解答 解:(1)連接CD,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠DCB=∠A=45°,CD=AD=DB,
∵AE=CF,
在△ADE與△CDF中,
{AE=CFA=DCBAD=CD,
∴△ADE≌△CDF,
∴DE=DF,∠CDF=∠ADE,
∵∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠CDF+∠CDE=∠EDF=90°,
∴DE⊥DF,
∴△DFE是等腰直角三角形;
②∵△ADE≌△CDF,
∴S△CDF=S△ADE
∴S四邊形CEFD=S△ADC
∴四邊形CEDF的面積是為定值,
∴四邊形CEDF的面積為12×12×4×4=4.

點評 該題主要考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)等幾何知識點及其應用問題;解題的關(guān)鍵是牢固掌握全等三角形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì),此題有一定的難度.

練習冊系列答案
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(1)請直接寫出其余三個頂點的坐標B(8,0),C(8,6),D(0,6)
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