Question

【題目】如圖，長方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝4．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿A→B→C→D→A的方向運(yùn)動，回到點(diǎn)A停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t= 時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C；當(dāng)t= 時(shí)，點(diǎn)P回到點(diǎn)A;

（2）△ABP面積取最大值時(shí)t的取值范圍；（3）當(dāng)△ABP的面積為3時(shí)，求t的值；

（4）若點(diǎn)P出發(fā)時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿A→D→C→B→A的方向運(yùn)動，回到點(diǎn)A停止運(yùn)動．請問：P 、Q何時(shí)在長方形ABCD的邊上相距1個(gè)單位長度？

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t=10，點(diǎn)p到點(diǎn)C，當(dāng)t=20，點(diǎn)p到點(diǎn)A；（2）10≤t≤14；（3）t=5.5或t=18.5； (4)t=或 t=7.

【解析】

（1）根據(jù)長方形ABCD的邊長和點(diǎn)P的運(yùn)動速度進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）由圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動時(shí)，△ABP的面積最大，由此根據(jù)已知條件計(jì)算出點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動所對應(yīng)的時(shí)間范圍即可；

（3）如圖1和圖2，分點(diǎn)P在BC上和AD上兩種情況結(jié)合已知條件解答即可；

（4）由題意可知，點(diǎn)P、Q在長方形ABCD上從A點(diǎn)出發(fā)，作相向運(yùn)動，因此存在以下兩種情況： ①點(diǎn)P、Q相遇前相距1個(gè)單位長度，如下圖3所示；②點(diǎn)P、Q相遇后相距1個(gè)單位長度，如下圖4所示；結(jié)合已知條件分這兩種情況解答即可.

（1）∵AD＝BC＝6，AB＝CD＝4，

∴AB+BC=10，AB+BC+CD+DA=20，

又∵點(diǎn)P的移動速度為每秒1個(gè)單位長度，

∴點(diǎn)P由A到C所需時(shí)間為：10÷1=10（秒），

點(diǎn)P由A出發(fā)回到A所需時(shí)間為：20÷1=20（秒）；

（2）由圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動時(shí)，△ABP的面積最大，

∵AB+BC+CD=14，

∴點(diǎn)P移動到點(diǎn)D的時(shí)間為：14÷1=14（秒），

又∵點(diǎn)P移動到點(diǎn)C的時(shí)間為10秒，

∴當(dāng)△ABP的面積最大時(shí)，；

（3）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，由已知可得：AB=4，PB=（t-4），由題意可得：

S△ABP=，解得：；

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上時(shí)，由已知可得：AB=4，AP=（20-t），由題意可得：S△ABP=，解得：，

綜上所述，當(dāng)t=5.5或t=18.5時(shí)，△ABP的面積為3.

（4）①如圖3，當(dāng)點(diǎn)P、Q相遇前相距1個(gè)單位長度時(shí)，

由題意可得：，解得：；

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)P、Q在相遇后相距1個(gè)單位長度時(shí)，由題意可得：

，解得：，

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)P、Q在長方形ABCD的邊上相距1個(gè)單位長度.