Question

【題目】已知命題：“P 是等邊△ABC 內(nèi)的一點，若 P 到三邊的距離相等，則 PA=PB=PC．”
（1）寫出它的逆命題．判斷其逆命題成立嗎？若成立，請給出證明．
（2）進一步證明：點 P 到等邊△ABC 各邊的距離之和為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：逆命題：P 是等邊三角形 ABC內(nèi)的一點，若PA=PB=PC，則P到三邊的距離相等． 該逆命題成立．
已知：如圖：P是等邊△ABC內(nèi)的一點，若PA=PB=PC，PD⊥AB于D，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，
求證：PD=PE=PF.
證明：∵PA=PB，
∴P 在 AB 的垂直平分線上，
∵AC=BC，
∴C 在 AB 的垂直平分線上，
∴CP 是 AB 的垂直平分線，
∴CP 平分∠ACB，
同理，BP 平分∠ABC，AP 平分∠BAC，
∴P 是△ABC 三個角的角平分線的交點，
又∵PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，
∴PD=PE=PF．

（2）證明：設(shè)AB邊上的高為h，
∵AB=BC=AC 且 S△ABC=S△ABP +S△PBC +S△APC，
∴AB.h=AB.PD+BC.PE+AC.PF，
∴h=PD+PE+PF，
∴點P到等邊△ABC各邊的距離之和為定值．定值為該三角形任意邊上的高長.

【解析】（1）由垂直平分線的判定得出點P、點C均在 AB 的垂直平分線上，即CP 是 AB 的垂直平分線；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CP 平分∠ACB；
同理，BP 平分∠ABC，AP 平分∠BAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PD=PE=PF．
（2）設(shè)AB邊上的高為h，由 S△ABC=S△ABP +S△PBC +S△APC，從而得出h=PD+PE+PF，即為定值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用線段垂直平分線的判定和三角形的面積的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；三角形的面積=1/2×底×高．