精英家教網已知△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且AC=a，點P在△ABC的三條邊上運動，
（1）求PA+PB+PC的最小值，并說明理由；
（2）比較線段PA+PC與線段PB的大小，并說明理由；
（3）當點P在邊AB上（除去A、B兩端點）上運動，若要PA、PB、PC三條線段所構成銳角三角形，PA的取值范圍是多少，并說明理由．
分析：（1）由于本題P點的位置不確定，因此要分P與A重合，P在AC上，P與C重合，P在BC上，P在AB上五種情況進行討論．主要根據(jù)三角形三邊的關系進行求解；
（2）本題同（1）一樣，也要分類進行討論，也是根據(jù)三角形三邊的關系進行求解．要注意的是P在AB上運動時，由于無法直接用三角形三邊關系來求解，因此要通過構建特殊值來進行判斷，以CA、CB為邊C為頂點在兩邊各取一個15°角，設與AB的交點為P0和D，那么不難得出△ACP0≌△BCD，因此△P0CD是個等邊三角形．
當P在AP0上運動時，PA+PC＜PA+AP0=PA+BD=PB，綜合可得PA+PC＜PB；
當P與P0重合時，PC+PA=P0C+P0A=P0D+BD=PB，即PA+PC=PB；
當P在P0B上運動時，PA+PC=P0P+AP0+PC=P0P+PC+BD，由于P0P+PC＞P0C=P0D，因此PA+PC=P0P+PC+BD＞P0D+BD=PB；
（3）本題要考慮兩種情況：
要使PA，PB，PC構成銳角三角形，首先要滿足三邊能組成一個三角形；
要求出PA，PB，PC構成直角三角形時PA的值；
根據(jù)上面兩種情況求出的PA即可得出PA、PB、PC三條線段所構成銳角三角形時PA的取值范圍．
解答：解：（1）答：PA+PB+PC的最小值為2a．
理由如下：
當點P與A重合時，PA+PB+PC=AC+AB
而AB＞AC，故PA+PB+PC＞2AC=2a
當點P在線段AC上運動時（不含A、C），PA+PB+PC=AC+PB，而PB＞AC，故PA+PB+PC＞2a
當P與C重合時，PA+PB+PC=AC+CB=2a，可見P在AC運動時PA+PB+PC的最小值是2a
同理，當點P在線段CB上運動時，PA+PB+PC的最小值為2a
當點P在線段AB上運動時，PA+PB+PC=AB+CP，而當CP⊥AB時，CP為最小值，其值為
2
2
a
∴PA+PB+PC=AB+CP≥
2
a+
2
2
a=
3
2
2
a＞2a
綜上，PA+PB+PC的最小值為2a；

（2）答：當P在AC上運動時（P與C點不重合），PA+PC＜PB
當P與C點重合時，PA+PC=PB
當P在BC上運動時（P與C點不重合），PA+PC＞PB
當P在AB上運動時，設P0在線段AB上，且∠ACP0=15°
當P在AP0（不與P0重合時）時，PA+PC＜PB，當P在P0B（不與P0重合時）時，PA+PC＞PB
當P與P0重合時，PA+PC=PB，理由如下
當P在AC上運動時（P與C點不重合），PA+PC=AC=BC＜PB
當P與C點重合時，PA+PC=AC=BC=PB
當P在BC上運動時（P與C點不重合），PA＞AC=BC，而PB＜BC
∴PA+PC＞PB
如圖1，在線段AB上取DB=AP0，連接CD，易證△AP0C≌△BDC
則CP0=CD，∠ACP0=∠BCD=15°
∴∠P0CD=60°∴△P0CD是正三角形，即P0D=P0C，因此當P與P0重合時，AP+PC=PB
當P在AP0（不與P0重合時）時，由于PC-P0C＜PP0=AP0-AP
∴PC+PA＜P0C+AP0=P0D+DB=P0B＜PB；
精英家教網
如圖2，當P在BP0（不與P0重合時）時，由于PP0+PC＞P0C=P0D
則PP0+PC+AP0＞P0C+AP0=P0D+DB=P0B＞PB
∴PA+PC＞PB；

（3）
3
2
-
6
6
a＜PA＜
6
-
2
2
a或
3
2
-
6
2
a＜PA＜
3
2
+
6
6
a．
理由如下：令P1為AB的中點，不妨設P在AP1上運動，要PA、PB、PC三條線段能構成三角形，須要PC-PA＜PB＜PA+PC
易見PB＞PC＞PA，則PC-PA＜PB
由（2）知，要使PA+PC＞PB，P應在P0B，即∠PCA＞15°
因為AP0=AP1-P1P0=
2
2
a-
2
2
a•cot60°=
2
2
a-
6
6
a=
3
2
-
6
6
a
即PA＞
3
2
-
6
6
a
又知當P從在PoB上從Po向P1運動時，PA，PB，PC構成的三角形從鈍角變?yōu)橹苯牵僮優(yōu)殇J角
若設PA=x，則PB=
2
a-x，PC2=（
2
2
a）2+（
2
2
a-x）2=a2-
2
ax+x2
若PA、PB、PC構成的三角形是直角三角形，則有PB2=PA2+PC2，即
（
2
a-x）2=a2-
2
ax+x2，x2+
2
ax-a2=0，因x＞0，所以x=
6
-
2
2
a
所以
3
2
-
6
6
a＜PA＜
6
-
2
2
a
同理可說明，當P在BP1上運動，要PA、PB、PC三條線段若能構成鈍角三角形
須要
3
2
-
6
6
a＜PA＜
3
2
+
6
6
a
綜上可得：
3
2
-
6
6
a＜PA＜
6
-
2
2
a或
3
2
-
6
6
a＜PA＜
3
2
+
6
6
a．
點評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質、三角形三邊的關系、全等三角形的判定等知識點．綜合性強，難度大．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O經過BC的中點D，DE⊥AC于E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若cosC=
12
，DE=6，求⊙O的直徑．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

24、如圖，直線CD經過線段AB的一個端點B，∠ABC=50°，點P為直線CD上一點；已知△PAB是以AB為底邊的等腰三角形，⊙O是以AB為直徑的圓．
（1）用圓規(guī)和直尺在圖中找出點P，并作出⊙O；
（2）用圓規(guī)和直尺過點P作出⊙O的一條切線；
（3）若將將條件“∠ABC=50°”改為“∠ABC=α（0°＜α＜90°）”討論當α在不同范圍內時過點P能作⊙O的切線的條數(shù)．（第（1）、（2）小題保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且AC=a，點P在△ABC的三條邊上運動，
（1）求PA+PB+PC的最小值，并說明理由；
（2）比較線段PA+PC與線段PB的大小，并說明理由；
（3）當點P在邊AB上（除去A、B兩端點）上運動，若要PA、PB、PC三條線段所構成銳角三角形，PA的取值范圍是多少，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：2003年廣東省廣州市黃埔區(qū)中考數(shù)學一模試卷（解析版） 題型：解答題

（2003•黃浦區(qū)一模）已知△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且AC=a，點P在△ABC的三條邊上運動，
（1）求PA+PB+PC的最小值，并說明理由；
（2）比較線段PA+PC與線段PB的大小，并說明理由；
（3）當點P在邊AB上（除去A、B兩端點）上運動，若要PA、PB、PC三條線段所構成銳角三角形，PA的取值范圍是多少，并說明理由．

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