Question

已知拋物線y=

1

2

x²-x+2．
（1）確定此拋物線的對稱軸方程和頂點坐標；
（2）如圖，若直線l：y=kx（k＞0）分別與拋物線交于兩個不同的點A、B，與直線y=-x+4相交于點P，試證

OP

OA

+

OP

OB

=2；
（3）在（2）中，是否存在k值，使A、B兩點的縱坐標之和等于4？如果存在，求出k值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將拋物線的解析式化為頂點式，即可得出拋物線的對稱軸方程和頂點坐標．
（2）可通過構建相似三角形將

OP

OA

和

OP

OB

進行適當轉換，分別過A、P、B作x軸的垂線，設垂足為A′、P′、B′；那么

OP

OA

和

OP

OB

就可轉換成P、A的橫坐標比以及P、B的橫坐標比．由于A、B、P均為函數(shù)的交點，因此可聯(lián)立相關函數(shù)，根據(jù)韋達定理進行求解．
（3）可根據(jù)直線y=kx的解析式，用A、B的橫坐標表示出各自的縱坐標，然后根據(jù)韋達定理和兩點的縱坐標和為4求出k的值，由于兩函數(shù)有兩個不同的交點，因此兩函數(shù)聯(lián)立的方程△＞0，可得出一個k的取值范圍，然后根據(jù)這個范圍判定k的值是否符合要求即可．

解答：（1）解：拋物線y=

1

2

x²-x+2=

1

2

（x-1）²+

3

2

，
所以拋物線的對稱軸為x=1，頂點坐標為（1，

3

2

）

（2）證明：由

y= 1 2 x2-x+2 y=kx

，
得x²-2（k+1）x+4=0．
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則
x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=4；
由

y=kx y=-x+4

，
得x=

4

k+1

（k＞0）．
即P點的橫坐標x_P=

4

k+1

；
作AA′⊥x軸于A′，PP′⊥x軸于P′，BB′⊥x軸于B′，于是：

OP

OA

+

OP

OB

=

OP′

OA′

+

OP′

OB′

=

xp

x1

+

xp

x2

=

xp(x1+x2)

x1x2

=

4

k+1

•

2(k+1)

4

=2．

（3）解：不存在．
因為A（x₁，y₁）、B（x₂、y₂）在直線y=kx上，由題意，得
y₁+y₂=kx₁+kx₂=k（x₁+x₂）=k•2（k+1）=4；
所以k²+k-2=0．
解得k=1，k=-2（舍去）
當k=1時，方程x²-2（k+1）x+4=0可化為x²-4x+4=0有兩個相等的實數(shù)根，不同題意舍去
故適合條件的k值不存在．

點評：本題主要考查了函數(shù)與一元二次方程的關系、一元二次方程根與系數(shù)的關系、函數(shù)圖象交點等知識．