Question

【題目】已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的兩根是m，n且m＜n．如圖，若拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，0）、B（0，n）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）若（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．根據(jù)圖象回答，當(dāng)x取何值時(shí)，拋物線的圖象在直線BC的上方？

（3）點(diǎn)P在線段OC上，作PE⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)E，若直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）﹣3＜x＜0；（3）（﹣1，0）．

【解析】

（1）求出方程的解，得到A、B的坐標(biāo)，代入拋物線得到方程組，求出方程組的解即可；

（2）求出C的坐標(biāo)，根據(jù)B、C的坐標(biāo)求出即可；

（3）設(shè)直線BC交PE于F，P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），則E點(diǎn)坐標(biāo)為（a，﹣a2﹣2a+3），根據(jù)三角形的面積求出F的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐標(biāo)代入求出直線BC，把F的坐標(biāo)代入求出即可．

（1）∵x2﹣4x+3=0的兩個(gè)根為 x1=1，x2=3，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）．

又∵拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，∴，得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3．

（2）作直線BC，由（1）得：y=﹣x2﹣2x+3．

∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，令﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=1，x2=﹣3，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，0），由圖可知：當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，拋物線的圖象在直線BC的上方．

（3）設(shè)直線BC交PE于F，P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），則E點(diǎn)坐標(biāo)為（a，﹣a2﹣2a+3）．

∵直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分，∴F是線段PE的中點(diǎn)（根據(jù)等底等高的三角形的面積相等），即F點(diǎn)的坐標(biāo)是（a，）．

∵直線BC過點(diǎn)B（0.3）和C（﹣3，0），設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b（k≠0），代入得：，∴，∴直線BC的解析式為y=x+3．

∵點(diǎn)F在直線BC上，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)滿足直線BC的解析式，即=a+3，

解得：a1=﹣1，a2=﹣3（此時(shí)P點(diǎn)與點(diǎn)C重合，舍去），∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，0）．