Question

【題目】二次函數(shù)y= （x﹣5）（x+m）（m是常數(shù)，m＞0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)）與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．
（1）用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）垂直于x軸的直線l在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間平行移動(dòng)，且與拋物線和直線AC分別交于點(diǎn)M、N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，線段MN的長(zhǎng)為p．
①當(dāng)t=2時(shí)，求p的值；
②若m≤1，則當(dāng)t為何值時(shí)，p取得最大值，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0，得 （x﹣5）（x+m）=0，

解得x1=5，x2=﹣m，

∵m＞0，

∴﹣m＜0，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，

∴A（5，0），B（﹣m，0），

令x=0，得y=﹣ m，

∴C（0，﹣ m）

（2）解：①設(shè)AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx﹣ m，

把A（5，0）代入y=kx﹣ m，解得k= m，

∴y= mx﹣ m，

∵t=2，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM= （2﹣5）（2+m）=﹣ （2+m），

點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN= m×2﹣ m=﹣ m，

∴p=yN﹣yM=﹣ m+ （2+m）=3；

②∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM= （t﹣5）（t+m）= t2+ （m﹣5）t﹣ m，

點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN= mt﹣ m，

當(dāng)0≤t≤5時(shí)，p=yN﹣yM=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣ ）2+ ，

當(dāng)t= 時(shí)，p取得最大值 ，

當(dāng)﹣m≤t＜0時(shí)，p=yM﹣yN= t2﹣ t= （t﹣ ）2﹣ ，

此二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線t= ，

∴在﹣m≤t＜0時(shí)，p隨t的增大而減少，

∴當(dāng)t=﹣m時(shí)，p取得最大值為 m2+ m，

設(shè)w= m2+ m，

m=﹣ m為對(duì)稱軸，

∴0＜m≤1時(shí)，w的值隨m的增大而增大，

∴m=1時(shí)，w最大值為3，

∵3＜ m，

∴當(dāng)t= 時(shí)，p取得最大值為 ．

【解析】（1）縱坐標(biāo)為0，橫坐標(biāo)為0，將其直接代入二次函數(shù)y= （x﹣5）（x+m）即可求得坐標(biāo)．（2）①求p的值，通常利用表達(dá)式表示p，此時(shí)p恰為不含字母的式子．因?yàn)閠=2，此時(shí)p=yN﹣yM，這里yM為點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，yN為點(diǎn)N的縱坐標(biāo)；

②求最值也要首先表示p，不過(guò)發(fā)現(xiàn)因?yàn)镃為拋物線與直線的交點(diǎn)，在﹣m≤t≤0，p=yM﹣yN，當(dāng)0≤t≤5時(shí)，p=yN﹣yM．如此要分開(kāi)討論最值，然后再綜合在一起，討論時(shí)不要遺漏題目中關(guān)于m的限制：0＜m≤1．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．