Question

如果拋物線C₁的頂點在拋物線C₂上，同時，拋物線C₂的頂點在拋物線C₁上，那么，我們稱拋物線C₁與C₂關(guān)聯(lián)．
（1）已知拋物線①y=x²+2x-1，判斷下列拋物線②y=-x²+2x+1；③y=x²+2x+1與已知拋物線①是否關(guān)聯(lián)，并說明理由．
（2）拋物線C₁：y=（x+1）²-2，動點P的坐標為（t，2），將拋物線繞點P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C₂，若拋物線C₁與C₂關(guān)聯(lián)，求拋物線C₂的解析式．
（3）A為拋物線C₁：y=（x+1）²-2的頂點，B為與拋物線C₁關(guān)聯(lián)的拋物線頂點，是否存在以AB為斜邊的等腰直角△ABC，使其直角頂點C在y軸上？若存在，求出C點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵①拋物線y=x²+2x-1=（x+1）²-2的頂點坐標為M（-1，-2），
∴②當x=-1時，y=-x²+2x+1=-1-2+1=-2，
∴點M在拋物線②上；
∵③當x=-1時，y=x²+2x+1=1-2+1=0，
∴點M不在拋物線③上；
∴拋物線①與拋物線②有關(guān)聯(lián)；
∵拋物線②y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，其頂點坐標為（1，2），
經(jīng)驗算：（1，2）在拋物線①上，
∴拋物線①、②是關(guān)聯(lián)的；

（2）拋物線C₁：y=（x+1）²-2的頂點M的坐標為（-1，-2），
∵動點P的坐標為（t，2），
∴點P在直線y=2上，
作M關(guān)于P的對稱點N，分別過點M、N作直線y=2的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則ME=NF=4，
∴點N的縱坐標為6，
當y=6時，（x+1）²-2=6，
解得：x₁=7，x₂=-9，
①設(shè)拋物C₂的解析式為：y=a（x-7）²+6，
∵點M（-1，-2）在拋物線C₂上，
∴-2=a（-1-7）²+6，
∴a=-．
∴拋物線C₂的解析式為：y=-（x-7）²+6；
②設(shè)拋物C₂的解析式為：y=a（x+9）²+6，
∵點M（-1，-2）在拋物線C₂上，
∴-2=a（-1+9）²+6，
∴a=-．
∴拋物線C₂的解析式為：y=-（x+9）²+6；
（3）點C在y軸上的一動點，以AC為腰作等腰直角△ABC，令C的坐標為（0，c），則點B的坐標分兩類：
①當A，B，C逆時針分布時，如圖中B點，過點A，B作y軸的垂線，垂足分別為H，F(xiàn)，則△BCF≌△CAH，
∴CF=AH=1，BF=CH=c+2，點B的坐標為（c+2，c-1），
當點B在拋物線C₁：y=（x+1）²-2上時，c-1=（c+2+1）²-2，
解得：c=1．
②當A，B，C順時針分布時，如圖中B′點，過點B′作y軸的垂線，垂足為D，
同理可得：點B′的坐標為（-c-2，c+1），
當點B′在拋物線C₁：y=（x+1）²-2上時，c+1=（-c-2+1）²-2，
解得：c=3+4或c=3-4．
綜上所述，存在三個符合條件的等腰直角三角形，其中C點的坐標分別為：C₁（0，1），C₂（0，3+4），C₃（0，3-4）．
分析：（1）首先求得拋物線①的頂點坐標，然后檢驗是否此點在拋物線②與③上，再求得拋物線②的頂點坐標，檢驗是否在拋物線①上即可求得答案；
（2）首先求得拋物線C₁的頂點坐標，則可得：點P在直線y=2上，則可作輔助線：作M關(guān)于P的對稱點N，分別過點M、N作直線y=2的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則可求得：點N的坐標，利用頂點式即可求得結(jié)果；
（3）分別從當A，B，C逆時針分布時與當A，B，C順時針分布時分析，根據(jù)全等三角形的知識，即可求得點C的坐標，注意別漏解．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的頂點坐標的求解方法，全等三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應用．