Question

如果拋物線C₁的頂點(diǎn)在拋物線C₂上，同時(shí)，拋物線C₂的頂點(diǎn)在拋物線C₁上，那么，我們稱拋物線C₁與C₂關(guān)聯(lián)．
（1）已知拋物線①y=x²+2x-1，判斷下列拋物線②y=-x²+2x+1；③y=2x²+2x+1與已知拋物線①是否關(guān)聯(lián)，并說明理由．
（2）拋物線C₁：，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2），將拋物線繞點(diǎn)P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C₂，若拋物線C₁與C₂關(guān)聯(lián)，求拋物線C₂的解析式．

Answer 1

解：（1）∵拋物線①y=x²+2x-1=（x+1）²-2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（-1，-2）．
經(jīng)驗(yàn)算，點(diǎn)M在拋物線②上，不在拋物線③上，所以，拋物線①與拋物線③不是關(guān)聯(lián)的；
拋物線②y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為N₁（1，2），
經(jīng)驗(yàn)算點(diǎn)N₁在拋物線①上，
所以拋物線①、②是關(guān)聯(lián)的，物線①與拋物線③不是關(guān)聯(lián)的．

（2）拋物線C₁：的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，-2），
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2），所以點(diǎn)P在直線y=2上，
作M關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)N，分別過點(diǎn)M、N作直線y=2的垂線，垂足為E、F，則ME=NF=4，所以點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為6．
當(dāng)y=6時(shí)，，解之得，x₁=7，x₂=-9．
∴N（7，6）或N（-9，6）．
設(shè)拋物線C₂的拋物線為y=a（x-7）²+6．
因?yàn)辄c(diǎn)M（-1，-2）在拋物線C₂上，∴-2=a（-1-7）²+6，．
∴拋物線C₂的解析式為；
設(shè)拋物線C₂的拋物線為y=a（x+9）²+6．
因?yàn)辄c(diǎn)M（-1，-2）在拋物線C₂上，∴-2=a（-1+9）²+6，．
∴拋物線C₂的解析式為．
分析：（1）首先求出拋物線①的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線②、③中進(jìn)行驗(yàn)證，然后再求得拋物線②、③的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入①中進(jìn)行驗(yàn)證，根據(jù)定義的拋物線關(guān)聯(lián)條件即可進(jìn)行判斷．
（2）根據(jù)新定義，若拋物線C₁、C₂關(guān)聯(lián)，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)在對(duì)方的函數(shù)圖象上；拋物線C₁繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°后，所得C₂的頂點(diǎn)與拋物線C₁的頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，顯然它們的縱坐標(biāo)到直線y=2的距離相等（點(diǎn)P在直線y=2上），可據(jù)此求出拋物線C₂的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線C₁的解析式后即可求出拋物線C₂的頂點(diǎn)，將C₂的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再將C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入其中即可確定拋物線C₂的解析式．
點(diǎn)評(píng)：此題以新定義的形式考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移與旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，充分理解新定義的含義是解題的關(guān)鍵；（2）題中，無論函數(shù)圖象怎樣平移或旋轉(zhuǎn)，抓住開口方向、開口大小、頂點(diǎn)坐標(biāo)即可正確得到新函數(shù)的解析式．