Question

如圖所示，在四邊形ABCD中，已知BA=AD=DC，AC≠BD，AC與BD交于點(diǎn)P，∠ABC+∠BCD=120°，求證：PB=PC．（提示：在解答本題時(shí)，可能用到以下結(jié)論：對(duì)角線互補(bǔ)的四邊形內(nèi)接于圓，簡(jiǎn)稱四點(diǎn)共圓）

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓,三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：證明題

分析：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，如圖1．根據(jù)“三角形內(nèi)角和定理”可得∠E=60°，∠EAD+∠EDA=120°．根據(jù)“等邊對(duì)等角”及“三角形的外角性質(zhì)”可得∠5+∠6=60°，則有∠APD=120°，根據(jù)“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形內(nèi)接于圓”可得E、A、P、D四點(diǎn)共圓，連接EP，如圖2，根據(jù)圓周角定理可得∠5=∠8，∠6=∠7，從而可得∠1=∠8，∠4=∠7，根據(jù)“等角對(duì)等邊”可得PE=PB，PE=PC，就可證到PB=PC．

解答：解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，如圖1．

∵∠ABC+∠BCD=120°，
∴∠E=180°-120°=60°，
∴∠EAD+∠EDA=180°-60°=120°．
∵BA=AD=DC，
∴∠1=∠5，∠4=∠6，
∴∠EAD=∠1+∠5=2∠5，∠EDA=∠4+∠6=2∠6，
∴∠EAD+∠EDA=2∠5+2∠6=120°，
∴∠5+∠6=60°，
∴∠APD=180°-60°=120°，
∴∠E+∠APD=180°，
∴E、A、P、D四點(diǎn)共圓．
連接EP，如圖2．

∵E、A、P、D四點(diǎn)共圓，
∴∠5=∠8，∠6=∠7，
∴∠1=∠5=∠8，∠4=∠6=∠7，
∴PE=PB，PE=PC，
∴PB=PC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了四點(diǎn)共圓的判定（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形內(nèi)接于圓）、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，證到∠APD=120°，從而證到E、A、P、D四點(diǎn)共圓．