Question

如圖所示，在四邊形ABCD中，已知BA=AD=DC，AC≠BD，AC與BD交于點P，∠ABC+∠BCD=120°，求證：PB=PC．（提示：在解答本題時，可能用到以下結(jié)論：對角線互補的四邊形內(nèi)接于圓，簡稱四點共圓）

Answer 1

考點：四點共圓,三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：證明題

分析：延長BA、CD交于點E，如圖1．根據(jù)“三角形內(nèi)角和定理”可得∠E=60°，∠EAD+∠EDA=120°．根據(jù)“等邊對等角”及“三角形的外角性質(zhì)”可得∠5+∠6=60°，則有∠APD=120°，根據(jù)“對角互補的四邊形內(nèi)接于圓”可得E、A、P、D四點共圓，連接EP，如圖2，根據(jù)圓周角定理可得∠5=∠8，∠6=∠7，從而可得∠1=∠8，∠4=∠7，根據(jù)“等角對等邊”可得PE=PB，PE=PC，就可證到PB=PC．

解答：解：延長BA、CD交于點E，如圖1．

∵∠ABC+∠BCD=120°，
∴∠E=180°-120°=60°，
∴∠EAD+∠EDA=180°-60°=120°．
∵BA=AD=DC，
∴∠1=∠5，∠4=∠6，
∴∠EAD=∠1+∠5=2∠5，∠EDA=∠4+∠6=2∠6，
∴∠EAD+∠EDA=2∠5+2∠6=120°，
∴∠5+∠6=60°，
∴∠APD=180°-60°=120°，
∴∠E+∠APD=180°，
∴E、A、P、D四點共圓．
連接EP，如圖2．

∵E、A、P、D四點共圓，
∴∠5=∠8，∠6=∠7，
∴∠1=∠5=∠8，∠4=∠6=∠7，
∴PE=PB，PE=PC，
∴PB=PC．

點評：本題主要考查了四點共圓的判定（對角互補的四邊形內(nèi)接于圓）、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)等知識，解決本題的關鍵是延長BA、CD交于點E，證到∠APD=120°，從而證到E、A、P、D四點共圓．