Question

17．如圖，直線y=mx+n與雙曲線y=$\frac{k}{x}$相交于A（-1，2）、B（2，b）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求m，n的值；
（2）若點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，求△ABD的面積；
（3）在坐標(biāo)軸上是否存在異于D點(diǎn)的點(diǎn)P，使得S_△PAB=S_△DAB？若存在，直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出m，n的值；
（2）根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用三角形面積公式計(jì)算即可；
（3）分點(diǎn)P在x軸上和點(diǎn)P在y軸上兩種情況，利用三角形面積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-1，2）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴2=$\frac{k}{-1}$，
解得，k=-2，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=-$\frac{2}{x}$，
∴b=$\frac{-2}{2}$=-1，
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=2}\\{2m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得，m=-1，n=1；
（2）對(duì)于y=-x+1，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），
∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-1），
∴△ABD的面積=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
（3）對(duì)于y=-x+1，當(dāng)y=0時(shí)，x=1，
∴直線y=-x+1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），
S_△PAB=$\frac{1}{2}$×|1-a|×2+$\frac{1}{2}$×|1-a|×1=3，
解得，a=-1或3，
當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，b），
S_△PAB=$\frac{1}{2}$×|1-b|×2+$\frac{1}{2}$×|1-b|×1=3，
解得，b=-1或3，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）或（3，0）或（0，-1）或（0，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．