Question

7．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\frac{4}{3}$x+4交x軸，y軸分別于點(diǎn)A，點(diǎn)B，將△AOB繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，直線CD交直線AB于點(diǎn)E，如圖1：

（1）求：直線CD的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖2，連接OE，過點(diǎn)O作OF⊥OE交直線CD于點(diǎn)F，如圖2，
①求證：∠OEF=45°；
②求：點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P是直線DC上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是x軸上一點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)O重合），當(dāng)△DPQ和△DOC全等時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出結(jié)論，進(jìn)而判斷出△AOB≌△COD得出CO=OA=3，OD=OB=4，即可得出點(diǎn)C，D坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）①由（1）結(jié)論和同角的余角相等判斷出，△BOE≌△DOF，即可得出△EOF是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；
②先確定出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再借助①的結(jié)論判斷出△OHE≌△OGF，即可得出OG=OH，F(xiàn)G=EH即可得出F的坐標(biāo)；
（3）分三種情況利用全等三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)即可確定出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵直線y=-$\frac{4}{3}$x+4交x軸，y軸分別于點(diǎn)A，點(diǎn)B，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∵△AOB繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，
∴△AOB≌△COD，
∴CO=OA=3，OD=OB=4，
∴C（0，3），D（-4，0），
設(shè)直線CD 的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線CD 的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3；

（2）①由（1）知，△AOB≌△COD，
∴OB=OD，∠ABO=∠CDO，
∵OF⊥OE，∠COF+∠COE=90°，
∵∠COE+∠DOF=90°，
∴∠BOE=∠DOF，
在△BOE和△DOF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠DOF}\\{OB=OD}\\{∠ABO=∠CDO}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△DOF，
∴OE=OF，
∵∠EOF=90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠OEF=45°；


②）如圖2，∵直線AB的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4①，
由（1）知，直線CD 的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3②；
聯(lián)立①②得，E（$\frac{12}{25}$，$\frac{84}{25}$），
過點(diǎn)F作FG⊥OD．過點(diǎn)E作EH⊥OB，
由①知，△BOE≌△DOF，
∴∠BOE=∠DOF，OE=OF
在△OHE和△OGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OHE=∠OGF=90°}\\{∠BOE=∠DOF}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△OHE≌△OGF，
∴OG=OH=$\frac{84}{25}$，F(xiàn)G=EH=$\frac{12}{25}$
∴F（-$\frac{84}{25}$，$\frac{12}{25}$），

（3）如圖1，
①∠DP'Q'=90°，
∵△P'Q'D≌△OCD，
∴DP'=OD=4，
∵∠CDO=∠P'DQ'，
∴cos∠P'DQ'=$\frac{4}{5}$，sin∠P'DQ'=$\frac{3}{5}$，
作P'H⊥x軸，則DH=DP'•cos∠PDQ=$\frac{16}{5}$，P'H=DP'•cos∠PDQ=$\frac{12}{5}$，
∴OH=OD+DH=$\frac{36}{5}$
∴點(diǎn)P'坐標(biāo)（-$\frac{36}{5}$，-$\frac{12}{5}$）；

②∠DQP=90°，
∵△PQD≌△COD，（SAS）
∴DQ=OD=4，PQ=3，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（-8，-3）；

③∠DP''Q''=90°，
∵△P''Q''D≌△OCD，（SAS）
∴DP''=OD=4，P''Q''=OC=3，
∴P''G=DP''•sin∠CDO=$\frac{12}{5}$，DG=DP''•cos∠CDO=$\frac{16}{5}$，
∴OG=$\frac{4}{5}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（-$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）；
即：△DPQ和△DOC全等時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{36}{5}$，-$\frac{12}{5}$）、（-8，-3）、（-$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）；

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，判斷出△BOE≌△DOF是解本題的關(guān)鍵．