Question

（2012•青海）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)N，點(diǎn)M在⊙O上，∠1=∠C
（1）求證：CB∥MD；
（2）若BC=4，sinM=

2

3

，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）由∠C與∠M是

BD

所對(duì)的圓周角，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD；
（2）首先連接AC，AB為⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，又由弦CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理的即可求得

BC

=

BD

，繼而可得∠A=∠M，又由BC=4，sinM=

2

3

，即可求得⊙O的直徑．

解答：（1）證明：∵∠C與∠M是

BD

所對(duì)的圓周角，
∴∠BCD=∠M，
又∵∠1=∠C，
∴∠1=∠M，
∴CB∥MD；

（2）解：連接AC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴

BC

=

BD

，
∴∠A=∠M，
∴sinA=sinM，
在Rt△ACB中，sinA=

BC

AB

，
∵sinM=

2

3

，BC=4，
∴

4

AB

=

2

3

解得，AB=6，
即⊙O的直徑為6．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、平行線的判定以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．