Question

【題目】定義：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若三角形△PAB，△PBC，△PCD，△PDA均為等腰三角形，則稱(chēng)點(diǎn)P是四邊形ABCD的一個(gè)“準(zhǔn)中心”，如，正方形的中心就是它的一個(gè)“準(zhǔn)中心”．

（1）如圖，已知點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且∠PBC＝∠PCB＝60°，證明點(diǎn)P是正四邊形ABCD的一個(gè)“準(zhǔn)中心”；

（2）填空：正方形ABCD共有　 　個(gè)“準(zhǔn)中心”；

（3）已知∠BAD＝60°，AB＝AD＝6，點(diǎn)C是∠BAD平分線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)在四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上最多存在幾個(gè)“準(zhǔn)中心”點(diǎn)P（自行畫(huà)出示意圖），并求出每個(gè)“準(zhǔn)中心”點(diǎn)P對(duì)應(yīng)線(xiàn)段AC的長(zhǎng)（精確到個(gè)位）．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）5；（3）在四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上最多存在3個(gè)“準(zhǔn)中心”點(diǎn)P；AC長(zhǎng)為4或9或16．

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用已知條件，即可解答；

（2）根據(jù) “準(zhǔn)中心”的定義即可求解；

（3）在四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上最多存在3個(gè)“準(zhǔn)中心”點(diǎn)P；分三種情況討論：

①如圖1，當(dāng)PA＝PB＝PC＝PD時(shí)，點(diǎn)P是“準(zhǔn)中心”點(diǎn)，

②如圖2，當(dāng)PA＝BA＝DA，PB＝PC＝PD時(shí)，點(diǎn)P是“準(zhǔn)中心”點(diǎn)，

③如圖3，當(dāng)AB＝PB＝PC＝PD＝AD時(shí)，點(diǎn)P是“準(zhǔn)中心”點(diǎn)，

利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形，即可求出AC的長(zhǎng)．

（1）∵ABCD為正方形，

∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD，

又∵∠PBC＝∠PCB＝60°，

∴∠BPC＝60°，

∴PB＝PC＝BC＝AB＝CD，

∴PA＝PD，

∴△PAB，△PBC，△PCD，△PDA均為等腰三角形，

∴點(diǎn)P是正方形ABCD的一個(gè)“準(zhǔn)中心”．

（2）由（1）可知正方形ABCD有4個(gè)這樣的“準(zhǔn)中心”，再加上對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，即為5個(gè)“準(zhǔn)中心”，

故答案為：5；

（3）在四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上最多存在3個(gè)“準(zhǔn)中心”點(diǎn)P；

①如圖1，當(dāng)PA＝PB＝PC＝PD時(shí)，點(diǎn)P是“準(zhǔn)中心”點(diǎn)，

∵∠BAD＝60°，點(diǎn)C是∠BAD平分線(xiàn)上，

∴∠BAC＝30°，

∴∠ACB＝∠BPC＝60°，∠ABC＝90°，

則AC＝．

②如圖2，當(dāng)PA＝BA＝DA，PB＝PC＝PD時(shí)，點(diǎn)P是“準(zhǔn)中心”點(diǎn)，

則PA＝6，

∵∠BAD＝60°，點(diǎn)C是∠BAD平分線(xiàn)上，

∴∠BAC＝30°，

∴∠APB＝75°，

∴∠PCB＝＝37.5°，

作BE⊥AC于點(diǎn)E，

在Rt△AEB中，BE＝AB＝3，AE＝AB，

在Rt△CEB中，CE＝，

∴AC＝AE+CE＝．

③如圖3，當(dāng)AB＝PB＝PC＝PD＝AD時(shí)，點(diǎn)P是“準(zhǔn)中心”點(diǎn)，

此時(shí)四邊形ABPD是菱形，連接BD，

則PA＝2AE＝2ABcos30°＝，

∴AC＝PA+PC＝．

綜上，在四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上最多存在3個(gè)“準(zhǔn)中心”點(diǎn)P；AC長(zhǎng)為4或9或16．