Question

15、當(dāng)n取正整數(shù)的時(shí)候，比較2ⁿ與n²的大小情況，結(jié)論應(yīng)該是

n=2或4時(shí)，2ⁿ=n²；n=3時(shí)，2ⁿ＜n²；n=1及n取大于4的正整數(shù)時(shí)，都有2ⁿ＞n²

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Answer 1

分析：此題應(yīng)從特例入手，當(dāng)n=1，2，3，4，5，6，…時(shí)探求2ⁿ與n²的大小關(guān)系，也可以從y=2^x與y=x²的圖象（x＞0）的變化趨勢(shì)猜測(cè)2ⁿ與n²的大小關(guān)系．

解答：解：當(dāng)n=1時(shí)，2¹＞1²，即2ⁿ＞n²；
當(dāng)n=2時(shí)，2²=2²，即2ⁿ=n²；
當(dāng)n=3時(shí)，2³＜3²，即2ⁿ＜n²；
當(dāng)n=4時(shí)，2⁴=4²，即2ⁿ=n²；
當(dāng)n=5時(shí)，2⁵＞5²，即2ⁿ＞n²；
當(dāng)n=6時(shí)，2⁶＞6²；
…
猜測(cè)當(dāng)n≥5時(shí)，2ⁿ＞n²；
下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測(cè)成立，
（1）當(dāng)n=5時(shí)，由以上可知猜測(cè)成立，
（2）設(shè)n=k（k≥5）時(shí)，命題成立，即2^k＞k²，
當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+1=2•2^k＞2k²=k²+k²＞k²+（2k+1）=（k+1）²，即n=k+1時(shí)，命題成立，
由（1）和（2）可得n≥5時(shí)，2ⁿ與n²的大小關(guān)系為：2ⁿ＞n²；
故答案為：n=2或4時(shí)，2ⁿ=n²；n=3時(shí)，2ⁿ＜n²；n=1及n取大于4的正整數(shù)時(shí)，都有2ⁿ＞n²．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是整數(shù)問(wèn)題的綜合應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是從特例入手，猜測(cè)探究然后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測(cè)成立．