Question

如圖，直線y=x+3與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，連結(jié)CB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸MN對(duì)稱。
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求證：四邊形ABCD是直角梯形。

Answer 1

解：（1）∵直線y=x+3與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
當(dāng)y=0時(shí)，x=-3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y= 3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），
把A（-3，0）、B（0，3）代入中得：
 
解得
∴拋物線的解析式為
∵
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，4）。
（2）∵A（-3，0）、B（0，3）、C（-1，4），
∴OA=OB=3，AN=2，CN=4，CM=MB=1，
在Rt△AOB中，；
在Rt△ANC中，；
在Rt△CMB中，；
∴，
∴∠ABC=90°，
∵點(diǎn)D、B關(guān)于對(duì)稱軸CN對(duì)稱，∠BCM=45°；
∴∠DCM=45°，則∠DCB=90°；
∴DC∥AB ；
∵AD≠CB ；
∴四邊形ABCD是直角梯形。